Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 50 mm de laine minérale et de 150 mm de béton, avec une surface de 15 m². Les faces extérieures sont à 25 °C et 4 °C. Trouvez le flux de chaleur Q̇ à travers le mur.
L1 = 50 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 25 °CT3 = 4 °C
Q̇ = W
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 250 mm de béton et 100 mm de polystyrène expansé sépare une pièce à 22 °C de l’air extérieur à 0 °C. Les coefficients de convection valent 7,7 W/(m²·K) à l’intérieur et 20 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 6 m². Trouvez la température Ts de la face intérieure du mur.
L1 = 250 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 6 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 0 °C
Ts = °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Un échangeur à faisceau tubulaire et calandre (une passe côté calandre, deux passes côté tubes) doit transférer 620 kW. Le fluide chaud se refroidit de 165 à 135 °C et le fluide froid se réchauffe de 30 à 45 °C. Le facteur de correction de la DTLM pour cette configuration vaut F = 0,88, et U = 200 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.
Q̇ = 620 kWF = 0,88U = 200 W/(m²·K)Th: 165 → 135 °CTc: 30 → 45 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
De l’huile chaude (0,5 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) se refroidit de 160 à 55 °C dans un échangeur à contre-courant. Elle réchauffe 2 kg/s d’eau (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) qui entre à 30 °C. Avec U = 1500 W/(m²·K), trouvez la surface d’échange A nécessaire.
ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 160 → 55 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Q̇ = 232,1 W
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,04·15) = 0,08333 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(1,4·15) = 0,007143 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 21/0,09048 = 232,1 W
Réponse
Q̇ = 232,1 W
2.Conduction thermique
Réponse: Ts = 21,11 °C
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·6) = 0,02165 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(1,4·6) = 0,02976 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,035·6) = 0,4762 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·6) = 0,008333 K/W
ΣR = 0,5359 K/W
Perte de chaleur
Q̇ = (22 − (0))/0,5359 = 41,05 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 41,05·0,02165 = 21,11 °C
Réponse
Ts = 21,11 °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 31,36 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Écarts de température aux extrémités (contre-courant)
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 165 − 45 = 120 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 135 − 30 = 105 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (120 − 105)/ln(120/105) = 112,3 K
Surface
A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 620000/(200·0,88·112,3) = 31,36 m²
Réponse
A = 31,36 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 1,361 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Puissance échangée et température de sortie de l’eau
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,3·105 = 120,7 kW
Tc,out = 30 + 120,7/(2·4,18) = 44,44 °C
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 160 − 44,44 = 115,6 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 30 = 25 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (115,6 − 25)/ln(115,6/25) = 59,15 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 120750/(1500·59,15) = 1,361 m²
Réponse
A = 1,361 m²
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