Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 200 mm de verre et de 150 mm de bois, avec une surface de 12 m². Les faces extérieures sont à 24 °C et -5 °C. Trouvez le flux de chaleur Q̇ à travers le mur.
L1 = 200 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 24 °CT3 = -5 °C
Q̇ = W
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 250 mm de verre et 25 mm de brique sépare une pièce à 22 °C de l’air extérieur à -1 °C. Les coefficients de convection valent 10 W/(m²·K) à l’intérieur et 20 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 15 m². Trouvez le coefficient de transmission thermique global U du mur.
L1 = 250 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 15 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -1 °C
U = W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Dans un condenseur, de la vapeur se condense à une température constante de 130 °C à l’extérieur des tubes. L’eau de refroidissement (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) circule dans les tubes et se réchauffe de 10 à 25 °C. Le coefficient global d’échange vaut 1000 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.
Ts = 130 °Cṁ = 0,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 10 → 25 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
De l’huile chaude (1,5 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) se refroidit de 170 à 105 °C dans un échangeur à contre-courant. Elle réchauffe 1 kg/s d’eau (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) qui entre à 15 °C. Avec U = 1500 W/(m²·K), trouvez la surface d’échange A nécessaire.
ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 170 → 105 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Q̇ = 319,1 W
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,96·12) = 0,01736 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·12) = 0,07353 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 29/0,09089 = 319,1 W
Réponse
Q̇ = 319,1 W
2.Conduction thermique
Réponse: U = 2,246 W/(m²·K)
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·15) = 0,006667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,96·15) = 0,01736 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,72·15) = 0,002315 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·15) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,02968 K/W
Coefficient global
U = 1/(A·ΣR) = 1/(15·0,02968) = 2,246 W/(m²·K)
Réponse
U = 2,246 W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 0,2791 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Puissance thermique côté eau
Q̇ = 0,5·4,18·(25 − 10) = 31,35 kW
Écarts de température aux extrémités
ΔT₁ = 130 − 10 = 120 K
ΔT₂ = 130 − 25 = 105 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (120 − 105)/ln(120/105) = 112,3 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 31350/(1000·112,3) = 0,2791 m²
Réponse
A = 0,2791 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 1,564 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Puissance échangée et température de sortie de l’eau
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,3·65 = 224,2 kW
Tc,out = 15 + 224,2/(1·4,18) = 68,65 °C
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 170 − 68,65 = 101,4 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 105 − 15 = 90 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (101,4 − 90)/ln(101,4/90) = 95,56 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 224250/(1500·95,56) = 1,564 m²
Réponse
A = 1,564 m²
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