Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 250 mm de polystyrène expansé et de 100 mm de béton, avec une surface de 20 m². Les faces extérieures sont à 20 °C et -5 °C. Trouvez le flux de chaleur Q̇ à travers le mur.
L1 = 250 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 20 °CT3 = -5 °C
Q̇ = W
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 150 mm de verre et 150 mm de brique sépare une pièce à 20 °C de l’air extérieur à -9 °C. Les coefficients de convection valent 8 W/(m²·K) à l’intérieur et 20 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 4 m². Trouvez la température Ts de la face intérieure du mur.
L1 = 150 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 4 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -9 °C
Ts = °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Un échangeur à contre-courant transfère 220 kW. Le fluide chaud se refroidit de 160 à 80 °C et le fluide froid se réchauffe de 20 à 30 °C. Le coefficient global d’échange vaut 1500 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.
Q̇ = 220 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 160 → 80 °CTc: 20 → 30 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
De l’huile chaude (1 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) se refroidit de 80 à 60 °C dans un échangeur à contre-courant. Elle réchauffe 0,5 kg/s d’eau (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) qui entre à 20 °C. Avec U = 1500 W/(m²·K), trouvez la surface d’échange A nécessaire.
ṁh = 1 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 80 → 60 °Cṁc = 0,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Q̇ = 69,31 W
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,035·20) = 0,3571 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(1,4·20) = 0,003571 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 25/0,3607 = 69,31 W
Réponse
Q̇ = 69,31 W
2.Conduction thermique
Réponse: Ts = 13,28 °C
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·4) = 0,03125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,96·4) = 0,03906 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,72·4) = 0,05208 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·4) = 0,0125 K/W
ΣR = 0,1349 K/W
Perte de chaleur
Q̇ = (20 − (-9))/0,1349 = 215 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 215·0,03125 = 13,28 °C
Réponse
Ts = 13,28 °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 1,62 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 160 − 30 = 130 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 80 − 20 = 60 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (130 − 60)/ln(130/60) = 90,53 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 220000/(1500·90,53) = 1,62 m²
Réponse
A = 1,62 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 0,8771 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Puissance échangée et température de sortie de l’eau
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,5·20 = 50 kW
Tc,out = 20 + 50/(0,5·4,18) = 43,92 °C
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 80 − 43,92 = 36,08 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 20 = 40 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (36,08 − 40)/ln(36,08/40) = 38 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 50000/(1500·38) = 0,8771 m²
Réponse
A = 0,8771 m²
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