Transferts thermiques : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Conduction thermique

Loi de Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Résistance de conduction
R = L/(kA)
Résistance de convection
R = 1/(hA)
Résistances en série
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Coefficient U
U = 1/(ΣR·A)

Échangeurs de chaleur (DTLM)

Puissance échangée
Q = U·A·ΔTlm
Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilan d’un fluide
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Exercices

1.Conduction thermiqueMoyen
Bois, k = 0,17200 mmPlaque de plâtre, k = 0,1725 mm17 °C4 °CQ̇ = ?

Un mur est composé de 200 mm de bois et de 25 mm de plaque de plâtre, avec une surface de 20 m². Les faces extérieures sont à 17 °C et 4 °C. Trouvez le flux de chaleur Q̇ à travers le mur.

L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 17 °CT3 = 4 °C
Q̇ = W
2.Conduction thermiqueDifficile
Bois, k = 0,17100 mmLaine minérale, k = 0,0450 mmpièce 21 °Cextérieur 1 °CQ̇

Un mur de 100 mm de bois et 50 mm de laine minérale sépare une pièce à 21 °C de l’air extérieur à 1 °C. Les coefficients de convection valent 8 W/(m²·K) à l’intérieur et 30 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 12 m². Trouvez le coefficient de transmission thermique global U du mur.

L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 12 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = 1 °C
U = W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
longueurT145 °C95 °C20 °C75 °CΔT₁ΔT₂co-courant

Un échangeur de chaleur à co-courant transfère 190 kW. Sa surface d’échange est de 25 m². Le fluide chaud se refroidit de 145 à 95 °C et le fluide froid se réchauffe de 20 à 75 °C. Trouvez le coefficient global d’échange U.

Q̇ = 190 kWA = 25 m²Th: 145 → 95 °CTc: 20 → 75 °C
U = W/(m²·K)
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
longueurT120 °C20 °C?ΔT₁ΔT₂vapeur en condensation

De la vapeur se condense à une température constante de 120 °C à l’extérieur des tubes d’un condenseur de surface d’échange 1,5 m² et U = 3000 W/(m²·K). L’eau de refroidissement (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) entre dans les tubes à 20 °C. Trouvez la température de sortie de l’eau Tc,out.

Ts = 120 °CA = 1,5 m²U = 3000 W/(m²·K)ṁ = 0,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °C
Tc,out = °C

3Solutions

1.Conduction thermique

Réponse: Q̇ = 196,4 W

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances des couches

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·20) = 0,05882 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·20) = 0,007353 K/W

Flux de chaleur

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 13/0,06618 = 196,4 W

Réponse

Q̇ = 196,4 W
2.Conduction thermique

Réponse: U = 0,5009 W/(m²·K)

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances en série

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·12) = 0,01042 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·12) = 0,04902 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,04·12) = 0,1042 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·12) = 0,002778 K/W
ΣR = 0,1664 K/W

Coefficient global

U = 1/(A·ΣR) = 1/(12·0,1664) = 0,5009 W/(m²·K)

Réponse

U = 0,5009 W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: U = 132,6 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Écarts de température aux extrémités

À co-courant, les deux entrées sont du même côté, et les deux sorties de l’autre.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 145 − 20 = 125 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 95 − 75 = 20 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (125 − 20)/ln(125/20) = 57,3 K

Coefficient global

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 190000/(25·57,3) = 132,6 W/(m²·K)

Réponse

U = 132,6 W/(m²·K)
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: Tc,out = 108,4 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Combiner le bilan d’énergie et l’équation de transfert

Avec ΔT₁ = Ts − Tc,in et ΔT₂ = Ts − Tc,out, la différence ΔT₁ − ΔT₂ est égale à l’élévation de température de l’eau, donc celle-ci se simplifie.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 3000·1,5/(0,5·4180) = 2,153

Température de sortie

ΔT₂ = ΔT₁·e−2,153 = 100·0,1161 = 11,61 K
Tc,out = 120 − 11,61 = 108,4 °C

Réponse

Tc,out = 108,4 °C

Chaleur transférée : Q̇ = 184,7 kW.

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