Transferts thermiques : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Conduction thermique

Loi de Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Résistance de conduction
R = L/(kA)
Résistance de convection
R = 1/(hA)
Résistances en série
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Coefficient U
U = 1/(ΣR·A)

Échangeurs de chaleur (DTLM)

Puissance échangée
Q = U·A·ΔTlm
Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilan d’un fluide
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Exercices

1.Conduction thermiqueMoyen
Plaque de plâtre, k = 0,17100 mmPolystyrène expansé, k = 0,03550 mm19 °C-14 °CTi​ = ?Q̇

Un mur est composé de 100 mm de plaque de plâtre et de 50 mm de polystyrène expansé, avec une surface de 20 m². Les faces extérieures sont à 19 °C et -14 °C. Trouvez la température Ti à l’interface entre les deux couches.

L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 19 °CT3 = -14 °C
Ti = °C
2.Conduction thermiqueDifficile
Laine minérale, k = 0,0450 mmVerre, k = 0,9650 mmpièce 21 °Cextérieur -7 °CQ̇

Un mur de 50 mm de laine minérale et 50 mm de verre sépare une pièce à 21 °C de l’air extérieur à -7 °C. Les coefficients de convection valent 7,7 W/(m²·K) à l’intérieur et 20 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 12 m². Trouvez le coefficient de transmission thermique global U du mur.

L1 = 50 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 12 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -7 °C
U = W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
longueurT105 °C40 °C15 °C30 °CΔT₁ΔT₂co-courant

Un échangeur à co-courant transfère 280 kW. Le fluide chaud se refroidit de 105 à 40 °C et le fluide froid se réchauffe de 15 à 30 °C. Le coefficient global d’échange vaut 800 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.

Q̇ = 280 kWU = 800 W/(m²·K)Th: 105 → 40 °CTc: 15 → 30 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
longueurT90 °C50 °C?20 °CΔT₁ΔT₂contre-courant

Dans un échangeur à tubes concentriques à contre-courant, de l’huile chaude (1 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) circule dans le tube intérieur et se refroidit de 90 à 50 °C. L’eau (0,8 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) circulant dans l’espace annulaire entre à 20 °C. Le tube intérieur a un diamètre de 25 mm, et U = 250 W/(m²·K) est rapporté à ce diamètre. Trouvez la longueur de tube L nécessaire.

ṁh = 1 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 90 → 50 °Cṁc = 0,8 kg/sTc,in = 20 °CD = 25 mmU = 250 W/(m²·K)
L = m

3Solutions

1.Conduction thermique

Réponse: Ti = 9,375 °C

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances des couches

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·20) = 0,02941 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,035·20) = 0,07143 K/W

Flux de chaleur

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 33/0,1008 = 327,3 W

Température à l’interface

La température baisse de Q̇·R₁ dans la première couche.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 19 − 327,3·0,02941 = 9,375 °C

Réponse

Ti = 9,375 °C
2.Conduction thermique

Réponse: U = 0,6748 W/(m²·K)

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances en série

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·12) = 0,01082 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,04·12) = 0,1042 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,96·12) = 0,00434 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·12) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,1235 K/W

Coefficient global

U = 1/(A·ΣR) = 1/(12·0,1235) = 0,6748 W/(m²·K)

Réponse

U = 0,6748 W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: A = 9,613 m²

Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.

Écarts de température aux extrémités

À co-courant, les deux entrées sont du même côté, et les deux sorties de l’autre.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 105 − 15 = 90 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 40 − 30 = 10 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (90 − 10)/ln(90/10) = 36,41 K

Surface

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 280000/(800·36,41) = 9,613 m²

Réponse

A = 9,613 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: L = 115,8 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Puissance échangée et température de sortie de l’eau

Q̇ = 1·2,1·(90 − 50) = 84 kW
Tc,out = 20 + 84/(0,8·4,18) = 45,12 °C

Écarts de température aux extrémités

À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 90 − 45,12 = 44,88 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 20 = 30 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (44,88 − 30)/ln(44,88/30) = 36,94 K

Surface et longueur

A = 84000/(250·36,94) = 9,095 m²
L = A/(πD) = 9,095/(π·0,025) = 115,8 m

Réponse

L = 115,8 m

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