Transferts thermiques : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Conduction thermique

Loi de Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Résistance de conduction
R = L/(kA)
Résistance de convection
R = 1/(hA)
Résistances en série
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Coefficient U
U = 1/(ΣR·A)

Échangeurs de chaleur (DTLM)

Puissance échangée
Q = U·A·ΔTlm
Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilan d’un fluide
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Exercices

1.Conduction thermiqueMoyen
Plaque de plâtre, k = 0,17150 mmBéton, k = 1,4100 mm21 °C5 °CQ̇ = ?

Un mur est composé de 150 mm de plaque de plâtre et de 100 mm de béton, avec une surface de 12 m². Les faces extérieures sont à 21 °C et 5 °C. Trouvez le flux de chaleur Q̇ à travers le mur.

L1 = 150 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 21 °CT3 = 5 °C
Q̇ = W
2.Conduction thermiqueDifficile
Laine minérale, k = 0,04200 mmBrique, k = 0,72100 mmpièce 21 °Cextérieur -12 °CQ̇ = ?

Un mur de 200 mm de laine minérale et 100 mm de brique sépare une pièce à 21 °C de l’air extérieur à -12 °C. Les coefficients de convection valent 8 W/(m²·K) à l’intérieur et 30 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 6 m². Trouvez la perte de chaleur Q̇ à travers le mur.

L1 = 200 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 6 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -12 °C
Q̇ = W
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
longueurT130 °C30 °C95 °CΔT₁ΔT₂vapeur en condensation

Dans un condenseur, de la vapeur se condense à une température constante de 130 °C à l’extérieur des tubes. L’eau de refroidissement (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) circule dans les tubes et se réchauffe de 30 à 95 °C. Le coefficient global d’échange vaut 3500 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.

Ts = 130 °Cṁ = 1 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 30 → 95 °CU = 3500 W/(m²·K)
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
longueurT100 °C50 °C10 °C?ΔT₁ΔT₂co-courant

Dans un échangeur à tubes concentriques à co-courant, de l’huile chaude (0,5 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) circule dans le tube intérieur et se refroidit de 100 à 50 °C. L’eau (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) circulant dans l’espace annulaire entre à 10 °C. Le tube intérieur a un diamètre de 20 mm, et U = 200 W/(m²·K) est rapporté à ce diamètre. Trouvez la longueur de tube L nécessaire.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 100 → 50 °Cṁc = 1 kg/sTc,in = 10 °CD = 20 mmU = 200 W/(m²·K)
L = m

3Solutions

1.Conduction thermique

Réponse: Q̇ = 201,3 W

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances des couches

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,17·12) = 0,07353 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(1,4·12) = 0,005952 K/W

Flux de chaleur

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 16/0,07948 = 201,3 W

Réponse

Q̇ = 201,3 W
2.Conduction thermique

Réponse: Q̇ = 37,38 W

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances en série

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·6) = 0,02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,04·6) = 0,8333 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,72·6) = 0,02315 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·6) = 0,005556 K/W
ΣR = 0,8829 K/W

Perte de chaleur

Q̇ = (21 − (-12))/0,8829 = 37,38 W

Réponse

Q̇ = 37,38 W
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: A = 1,254 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Puissance thermique côté eau

Q̇ = 1·4,18·(95 − 30) = 271,7 kW

Écarts de température aux extrémités

ΔT₁ = 130 − 30 = 100 K
ΔT₂ = 130 − 95 = 35 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (100 − 35)/ln(100/35) = 61,92 K

Surface

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 271700/(3500·61,92) = 1,254 m²

Réponse

A = 1,254 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: L = 97,94 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Puissance échangée et température de sortie de l’eau

Q̇ = 0,5·2,5·(100 − 50) = 62,5 kW
Tc,out = 10 + 62,5/(1·4,18) = 24,95 °C

Écarts de température aux extrémités

À co-courant, les deux entrées sont du même côté, et les deux sorties de l’autre.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 100 − 10 = 90 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 50 − 24,95 = 25,05 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (90 − 25,05)/ln(90/25,05) = 50,78 K

Surface et longueur

A = 62500/(200·50,78) = 6,154 m²
L = A/(πD) = 6,154/(π·0,02) = 97,94 m

Réponse

L = 97,94 m

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