Transferts thermiques : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Conduction thermique

Loi de Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Résistance de conduction
R = L/(kA)
Résistance de convection
R = 1/(hA)
Résistances en série
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Coefficient U
U = 1/(ΣR·A)

Échangeurs de chaleur (DTLM)

Puissance échangée
Q = U·A·ΔTlm
Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilan d’un fluide
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Exercices

1.Conduction thermiqueMoyen
Bois, k = 0,17200 mmPolystyrène expansé, k = 0,035100 mm19 °C5 °CQ̇ = ?

Un mur est composé de 200 mm de bois et de 100 mm de polystyrène expansé, avec une surface de 4 m². Les faces extérieures sont à 19 °C et 5 °C. Trouvez le flux de chaleur Q̇ à travers le mur.

L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 19 °CT3 = 5 °C
Q̇ = W
2.Conduction thermiqueDifficile
Polystyrène expansé, k = 0,035100 mmVerre, k = 0,9625 mmpièce 22 °Cextérieur -3 °CTs​ = ?Q̇

Un mur de 100 mm de polystyrène expansé et 25 mm de verre sépare une pièce à 22 °C de l’air extérieur à -3 °C. Les coefficients de convection valent 7,7 W/(m²·K) à l’intérieur et 30 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 6 m². Trouvez la température Ts de la face intérieure du mur.

L1 = 100 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 6 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -3 °C
Ts = °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
longueurT85 °C60 °C10 °C35 °CΔT₁ΔT₂co-courant

Un échangeur à co-courant transfère 440 kW. Le fluide chaud se refroidit de 85 à 60 °C et le fluide froid se réchauffe de 10 à 35 °C. Le coefficient global d’échange vaut 1000 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.

Q̇ = 440 kWU = 1000 W/(m²·K)Th: 85 → 60 °CTc: 10 → 35 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
longueurT95 °C55 °C?20 °CΔT₁ΔT₂contre-courant

Dans un échangeur à tubes concentriques à contre-courant, de l’huile chaude (0,3 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) circule dans le tube intérieur et se refroidit de 95 à 55 °C. L’eau (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) circulant dans l’espace annulaire entre à 20 °C. Le tube intérieur a un diamètre de 50 mm, et U = 200 W/(m²·K) est rapporté à ce diamètre. Trouvez la longueur de tube L nécessaire.

ṁh = 0,3 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 95 → 55 °Cṁc = 1 kg/sTc,in = 20 °CD = 50 mmU = 200 W/(m²·K)
L = m

3Solutions

1.Conduction thermique

Réponse: Q̇ = 13,88 W

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances des couches

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·4) = 0,2941 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,035·4) = 0,7143 K/W

Flux de chaleur

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 14/1,008 = 13,88 W

Réponse

Q̇ = 13,88 W
2.Conduction thermique

Réponse: Ts = 20,93 °C

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances en série

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·6) = 0,02165 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,035·6) = 0,4762 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,96·6) = 0,00434 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·6) = 0,005556 K/W
ΣR = 0,5077 K/W

Perte de chaleur

Q̇ = (22 − (-3))/0,5077 = 49,24 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 49,24·0,02165 = 20,93 °C

Réponse

Ts = 20,93 °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: A = 9,668 m²

Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.

Écarts de température aux extrémités

À co-courant, les deux entrées sont du même côté, et les deux sorties de l’autre.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 85 − 10 = 75 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 60 − 35 = 25 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (75 − 25)/ln(75/25) = 45,51 K

Surface

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 440000/(1000·45,51) = 9,668 m²

Réponse

A = 9,668 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: L = 17,62 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Puissance échangée et température de sortie de l’eau

Q̇ = 0,3·2,3·(95 − 55) = 27,6 kW
Tc,out = 20 + 27,6/(1·4,18) = 26,6 °C

Écarts de température aux extrémités

À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 95 − 26,6 = 68,4 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 20 = 35 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (68,4 − 35)/ln(68,4/35) = 49,85 K

Surface et longueur

A = 27600/(200·49,85) = 2,768 m²
L = A/(πD) = 2,768/(π·0,05) = 17,62 m

Réponse

L = 17,62 m

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