Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 150 mm de verre et de 75 mm de polystyrène expansé, avec une surface de 10 m². Les faces extérieures sont à 16 °C et 6 °C. Trouvez la température Ti à l’interface entre les deux couches.
L1 = 150 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 16 °CT3 = 6 °C
Ti = °C
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 250 mm de plaque de plâtre et 50 mm de laine minérale sépare une pièce à 20 °C de l’air extérieur à -5 °C. Les coefficients de convection valent 8 W/(m²·K) à l’intérieur et 30 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 12 m². Trouvez le coefficient de transmission thermique global U du mur.
L1 = 250 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 12 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -5 °C
U = W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Un échangeur à co-courant transfère 90 kW. Le fluide chaud se refroidit de 160 à 110 °C et le fluide froid se réchauffe de 25 à 65 °C. Le coefficient global d’échange vaut 1500 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.
Q̇ = 90 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 160 → 110 °CTc: 25 → 65 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
De l’huile chaude (0,5 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) se refroidit de 140 à 55 °C dans un échangeur à contre-courant. Elle réchauffe 2 kg/s d’eau (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) qui entre à 25 °C. Avec U = 1000 W/(m²·K), trouvez la surface d’échange A nécessaire.
ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 140 → 55 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Ti = 15,32 °C
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,96·10) = 0,01563 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,035·10) = 0,2143 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 10/0,2299 = 43,5 W
Température à l’interface
La température baisse de Q̇·R₁ dans la première couche.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 16 − 43,5·0,01563 = 15,32 °C
Réponse
Ti = 15,32 °C
2.Conduction thermique
Réponse: U = 0,3474 W/(m²·K)
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·12) = 0,01042 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,17·12) = 0,1225 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,04·12) = 0,1042 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·12) = 0,002778 K/W
ΣR = 0,2399 K/W
Coefficient global
U = 1/(A·ΣR) = 1/(12·0,2399) = 0,3474 W/(m²·K)
Réponse
U = 0,3474 W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 0,7324 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Écarts de température aux extrémités
À co-courant, les deux entrées sont du même côté, et les deux sorties de l’autre.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 160 − 25 = 135 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 110 − 65 = 45 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (135 − 45)/ln(135/45) = 81,92 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 90000/(1500·81,92) = 0,7324 m²
Réponse
A = 0,7324 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 1,649 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Puissance échangée et température de sortie de l’eau
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,3·85 = 97,75 kW
Tc,out = 25 + 97,75/(2·4,18) = 36,69 °C
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 140 − 36,69 = 103,3 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 25 = 30 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (103,3 − 30)/ln(103,3/30) = 59,29 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 97750/(1000·59,29) = 1,649 m²
Réponse
A = 1,649 m²
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