Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 50 mm de plaque de plâtre et de 50 mm de verre, avec une surface de 10 m². Les faces extérieures sont à 23 °C et -15 °C. Trouvez le flux de chaleur Q̇ à travers le mur.
L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 23 °CT3 = -15 °C
Q̇ = W
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 100 mm de plaque de plâtre et 25 mm de bois sépare une pièce à 22 °C de l’air extérieur à -5 °C. Les coefficients de convection valent 7,7 W/(m²·K) à l’intérieur et 30 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 15 m². Trouvez la perte de chaleur Q̇ à travers le mur.
L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -5 °C
Q̇ = W
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Dans un condenseur, de la vapeur se condense à une température constante de 100 °C à l’extérieur des tubes. L’eau de refroidissement (5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) circule dans les tubes et se réchauffe de 30 à 70 °C. Le coefficient global d’échange vaut 1000 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.
Ts = 100 °Cṁ = 5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 30 → 70 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
Dans un échangeur à tubes concentriques à co-courant, de l’huile chaude (0,2 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) circule dans le tube intérieur et se refroidit de 95 à 65 °C. L’eau (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) circulant dans l’espace annulaire entre à 20 °C. Le tube intérieur a un diamètre de 20 mm, et U = 250 W/(m²·K) est rapporté à ce diamètre. Trouvez la longueur de tube L nécessaire.
ṁh = 0,2 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 95 → 65 °Cṁc = 1,5 kg/sTc,in = 20 °CD = 20 mmU = 250 W/(m²·K)
L = m
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Q̇ = 1098 W
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·10) = 0,02941 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,96·10) = 0,005208 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 38/0,03462 = 1098 W
Réponse
Q̇ = 1098 W
2.Conduction thermique
Réponse: Q̇ = 450,8 W
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·15) = 0,008658 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·15) = 0,03922 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·15) = 0,009804 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·15) = 0,002222 K/W
ΣR = 0,0599 K/W
Perte de chaleur
Q̇ = (22 − (-5))/0,0599 = 450,8 W
Réponse
Q̇ = 450,8 W
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 17,71 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Puissance thermique côté eau
Q̇ = 5·4,18·(70 − 30) = 836 kW
Écarts de température aux extrémités
ΔT₁ = 100 − 30 = 70 K
ΔT₂ = 100 − 70 = 30 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (70 − 30)/ln(70/30) = 47,21 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 836000/(1000·47,21) = 17,71 m²
Réponse
A = 17,71 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: L = 16,67 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Puissance échangée et température de sortie de l’eau
Q̇ = 0,2·2,5·(95 − 65) = 15 kW
Tc,out = 20 + 15/(1,5·4,18) = 22,39 °C
Écarts de température aux extrémités
À co-courant, les deux entrées sont du même côté, et les deux sorties de l’autre.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 95 − 20 = 75 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 65 − 22,39 = 42,61 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (75 − 42,61)/ln(75/42,61) = 57,29 K
Surface et longueur
A = 15000/(250·57,29) = 1,047 m²
L = A/(πD) = 1,047/(π·0,02) = 16,67 m
Réponse
L = 16,67 m
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