Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 250 mm de polystyrène expansé et de 100 mm de brique, avec une surface de 12 m². Les faces extérieures sont à 21 °C et 1 °C. Trouvez la température Ti à l’interface entre les deux couches.
L1 = 250 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 21 °CT3 = 1 °C
Ti = °C
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 100 mm de polystyrène expansé et 75 mm de laine minérale sépare une pièce à 20 °C de l’air extérieur à 4 °C. Les coefficients de convection valent 8 W/(m²·K) à l’intérieur et 25 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 12 m². Trouvez le coefficient de transmission thermique global U du mur.
L1 = 100 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 12 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 4 °C
U = W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Un échangeur de chaleur à contre-courant transfère 180 kW. Sa surface d’échange est de 20 m². Le fluide chaud se refroidit de 100 à 35 °C et le fluide froid se réchauffe de 15 à 55 °C. Trouvez le coefficient global d’échange U.
Q̇ = 180 kWA = 20 m²Th: 100 → 35 °CTc: 15 → 55 °C
U = W/(m²·K)
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
De l’huile chaude (1 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) se refroidit de 150 à 90 °C dans un échangeur à contre-courant. Elle réchauffe 1 kg/s d’eau (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) qui entre à 30 °C. Avec U = 300 W/(m²·K), trouvez la surface d’échange A nécessaire.
ṁh = 1 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 150 → 90 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Ti = 1,381 °C
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,035·12) = 0,5952 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,72·12) = 0,01157 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 20/0,6068 = 32,96 W
Température à l’interface
La température baisse de Q̇·R₁ dans la première couche.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 21 − 32,96·0,5952 = 1,381 °C
Réponse
Ti = 1,381 °C
2.Conduction thermique
Réponse: U = 0,2042 W/(m²·K)
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·12) = 0,01042 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,035·12) = 0,2381 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,04·12) = 0,1563 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·12) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,4081 K/W
Coefficient global
U = 1/(A·ΣR) = 1/(12·0,4081) = 0,2042 W/(m²·K)
Réponse
U = 0,2042 W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: U = 291,9 W/(m²·K)
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 55 = 45 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 35 − 15 = 20 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (45 − 20)/ln(45/20) = 30,83 K
Coefficient global
U = Q̇/(A·ΔTlm) = 180000/(20·30,83) = 291,9 W/(m²·K)
Réponse
U = 291,9 W/(m²·K)
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 6,331 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Puissance échangée et température de sortie de l’eau
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,3·60 = 138 kW
Tc,out = 30 + 138/(1·4,18) = 63,01 °C
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 150 − 63,01 = 86,99 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 90 − 30 = 60 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (86,99 − 60)/ln(86,99/60) = 72,66 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 138000/(300·72,66) = 6,331 m²
Réponse
A = 6,331 m²
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