Transferts thermiques : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Conduction thermique

Loi de Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Résistance de conduction
R = L/(kA)
Résistance de convection
R = 1/(hA)
Résistances en série
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Coefficient U
U = 1/(ΣR·A)

Échangeurs de chaleur (DTLM)

Puissance échangée
Q = U·A·ΔTlm
Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilan d’un fluide
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Exercices

1.Conduction thermiqueMoyen
Plaque de plâtre, k = 0,17200 mmBois, k = 0,17100 mm15 °C-10 °CQ̇ = ?

Un mur est composé de 200 mm de plaque de plâtre et de 100 mm de bois, avec une surface de 15 m². Les faces extérieures sont à 15 °C et -10 °C. Trouvez le flux de chaleur Q̇ à travers le mur.

L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 15 °CT3 = -10 °C
Q̇ = W
2.Conduction thermiqueDifficile
Polystyrène expansé, k = 0,03550 mmVerre, k = 0,96100 mmpièce 22 °Cextérieur -8 °CQ̇

Un mur de 50 mm de polystyrène expansé et 100 mm de verre sépare une pièce à 22 °C de l’air extérieur à -8 °C. Les coefficients de convection valent 6 W/(m²·K) à l’intérieur et 20 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 4 m². Trouvez le coefficient de transmission thermique global U du mur.

L1 = 50 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 4 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -8 °C
U = W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
longueurT105 °C45 °C20 °C30 °CΔT₁ΔT₂co-courant

Un échangeur de chaleur à co-courant transfère 30 kW. Sa surface d’échange est de 3 m². Le fluide chaud se refroidit de 105 à 45 °C et le fluide froid se réchauffe de 20 à 30 °C. Trouvez le coefficient global d’échange U.

Q̇ = 30 kWA = 3 m²Th: 105 → 45 °CTc: 20 → 30 °C
U = W/(m²·K)
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
longueurT150 °C60 °C73,83 °C20 °CΔT₁ΔT₂contre-courant

De l’huile chaude (0,5 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) se refroidit de 150 à 60 °C dans un échangeur à contre-courant. Elle réchauffe 0,5 kg/s d’eau (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) qui entre à 20 °C. Avec U = 300 W/(m²·K), trouvez la surface d’échange A nécessaire.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 150 → 60 °Cṁc = 0,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²

3Solutions

1.Conduction thermique

Réponse: Q̇ = 212,5 W

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances des couches

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·15) = 0,07843 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·15) = 0,03922 K/W

Flux de chaleur

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 25/0,1176 = 212,5 W

Réponse

Q̇ = 212,5 W
2.Conduction thermique

Réponse: U = 0,5716 W/(m²·K)

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances en série

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·4) = 0,04167 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,035·4) = 0,3571 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,96·4) = 0,02604 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·4) = 0,0125 K/W
ΣR = 0,4374 K/W

Coefficient global

U = 1/(A·ΣR) = 1/(4·0,4374) = 0,5716 W/(m²·K)

Réponse

U = 0,5716 W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: U = 247,8 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Écarts de température aux extrémités

À co-courant, les deux entrées sont du même côté, et les deux sorties de l’autre.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 105 − 20 = 85 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 45 − 30 = 15 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (85 − 15)/ln(85/15) = 40,36 K

Coefficient global

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 30000/(3·40,36) = 247,8 W/(m²·K)

Réponse

U = 247,8 W/(m²·K)
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: A = 6,678 m²

Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.

Puissance échangée et température de sortie de l’eau

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,5·90 = 112,5 kW
Tc,out = 20 + 112,5/(0,5·4,18) = 73,83 °C

Écarts de température aux extrémités

À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 150 − 73,83 = 76,17 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 20 = 40 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (76,17 − 40)/ln(76,17/40) = 56,16 K

Surface

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 112500/(300·56,16) = 6,678 m²

Réponse

A = 6,678 m²

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