Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 100 mm de laine minérale et de 75 mm de brique, avec une surface de 8 m². Les faces extérieures sont à 17 °C et -11 °C. Trouvez la température Ti à l’interface entre les deux couches.
L1 = 100 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 17 °CT3 = -11 °C
Ti = °C
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 250 mm de brique et 25 mm de béton sépare une pièce à 20 °C de l’air extérieur à 2 °C. Les coefficients de convection valent 10 W/(m²·K) à l’intérieur et 30 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 8 m². Trouvez la perte de chaleur Q̇ à travers le mur.
L1 = 250 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 8 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 2 °C
Q̇ = W
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Un échangeur à contre-courant transfère 190 kW. Le fluide chaud se refroidit de 165 à 115 °C et le fluide froid se réchauffe de 10 à 40 °C. Le coefficient global d’échange vaut 1500 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.
Q̇ = 190 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 165 → 115 °CTc: 10 → 40 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
De la vapeur se condense à une température constante de 110 °C à l’extérieur des tubes d’un condenseur de surface d’échange 1 m² et U = 3000 W/(m²·K). L’eau de refroidissement (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) entre dans les tubes à 10 °C. Trouvez la température de sortie de l’eau Tc,out.
Ts = 110 °CA = 1 m²U = 3000 W/(m²·K)ṁ = 0,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °C
Tc,out = °C
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Ti = −9,88 °C
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,04·8) = 0,3125 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,72·8) = 0,01302 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 28/0,3255 = 86,02 W
Température à l’interface
La température baisse de Q̇·R₁ dans la première couche.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 17 − 86,02·0,3125 = −9,88 °C
Réponse
Ti = −9,88 °C
2.Conduction thermique
Réponse: Q̇ = 288,9 W
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·8) = 0,0125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,72·8) = 0,0434 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(1,4·8) = 0,002232 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·8) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,0623 K/W
Perte de chaleur
Q̇ = (20 − (2))/0,0623 = 288,9 W
Réponse
Q̇ = 288,9 W
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 1,104 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 165 − 40 = 125 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 115 − 10 = 105 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (125 − 105)/ln(125/105) = 114,7 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 190000/(1500·114,7) = 1,104 m²
Réponse
A = 1,104 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: Tc,out = 86,2 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Combiner le bilan d’énergie et l’équation de transfert
Avec ΔT₁ = Ts − Tc,in et ΔT₂ = Ts − Tc,out, la différence ΔT₁ − ΔT₂ est égale à l’élévation de température de l’eau, donc celle-ci se simplifie.
ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 3000·1/(0,5·4180) = 1,435
Température de sortie
ΔT₂ = ΔT₁·e−1,435 = 100·0,238 = 23,8 K
Tc,out = 110 − 23,8 = 86,2 °C
Réponse
Tc,out = 86,2 °C
Chaleur transférée : Q̇ = 159,3 kW.
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