Transferts thermiques : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Conduction thermique

Loi de Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Résistance de conduction
R = L/(kA)
Résistance de convection
R = 1/(hA)
Résistances en série
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Coefficient U
U = 1/(ΣR·A)

Échangeurs de chaleur (DTLM)

Puissance échangée
Q = U·A·ΔTlm
Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilan d’un fluide
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Exercices

1.Conduction thermiqueMoyen
Béton, k = 1,4250 mmPolystyrène expansé, k = 0,035150 mm18 °C-4 °CQ̇ = ?

Un mur est composé de 250 mm de béton et de 150 mm de polystyrène expansé, avec une surface de 4 m². Les faces extérieures sont à 18 °C et -4 °C. Trouvez le flux de chaleur Q̇ à travers le mur.

L1 = 250 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 18 °CT3 = -4 °C
Q̇ = W
2.Conduction thermiqueDifficile
Polystyrène expansé, k = 0,03550 mmBois, k = 0,1725 mmpièce 20 °Cextérieur -14 °CTs​ = ?Q̇

Un mur de 50 mm de polystyrène expansé et 25 mm de bois sépare une pièce à 20 °C de l’air extérieur à -14 °C. Les coefficients de convection valent 6 W/(m²·K) à l’intérieur et 25 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 8 m². Trouvez la température Ts de la face intérieure du mur.

L1 = 50 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 8 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -14 °C
Ts = °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
longueurT115 °C55 °C20 °C45 °CΔT₁ΔT₂co-courant

Un échangeur à co-courant transfère 50 kW. Le fluide chaud se refroidit de 115 à 55 °C et le fluide froid se réchauffe de 20 à 45 °C. Le coefficient global d’échange vaut 300 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.

Q̇ = 50 kWU = 300 W/(m²·K)Th: 115 → 55 °CTc: 20 → 45 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
longueurT100 °C60 °C?10 °CΔT₁ΔT₂contre-courant

Dans un échangeur à tubes concentriques à contre-courant, de l’huile chaude (0,5 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) circule dans le tube intérieur et se refroidit de 100 à 60 °C. L’eau (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) circulant dans l’espace annulaire entre à 10 °C. Le tube intérieur a un diamètre de 40 mm, et U = 250 W/(m²·K) est rapporté à ce diamètre. Trouvez la longueur de tube L nécessaire.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 100 → 60 °Cṁc = 0,5 kg/sTc,in = 10 °CD = 40 mmU = 250 W/(m²·K)
L = m

3Solutions

1.Conduction thermique

Réponse: Q̇ = 19,71 W

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances des couches

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(1,4·4) = 0,04464 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,035·4) = 1,071 K/W

Flux de chaleur

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 22/1,116 = 19,71 W

Réponse

Q̇ = 19,71 W
2.Conduction thermique

Réponse: Ts = 16,82 °C

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances en série

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·8) = 0,02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,035·8) = 0,1786 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·8) = 0,01838 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·8) = 0,005 K/W
ΣR = 0,2228 K/W

Perte de chaleur

Q̇ = (20 − (-14))/0,2228 = 152,6 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 152,6·0,02083 = 16,82 °C

Réponse

Ts = 16,82 °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: A = 4,414 m²

Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.

Écarts de température aux extrémités

À co-courant, les deux entrées sont du même côté, et les deux sorties de l’autre.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 115 − 20 = 95 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 55 − 45 = 10 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (95 − 10)/ln(95/10) = 37,76 K

Surface

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 50000/(300·37,76) = 4,414 m²

Réponse

A = 4,414 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: L = 25,01 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Puissance échangée et température de sortie de l’eau

Q̇ = 0,5·2,3·(100 − 60) = 46 kW
Tc,out = 10 + 46/(0,5·4,18) = 32,01 °C

Écarts de température aux extrémités

À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 32,01 = 67,99 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 10 = 50 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (67,99 − 50)/ln(67,99/50) = 58,54 K

Surface et longueur

A = 46000/(250·58,54) = 3,143 m²
L = A/(πD) = 3,143/(π·0,04) = 25,01 m

Réponse

L = 25,01 m

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