Transferts thermiques : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Conduction thermique

Loi de Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Résistance de conduction
R = L/(kA)
Résistance de convection
R = 1/(hA)
Résistances en série
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Coefficient U
U = 1/(ΣR·A)

Échangeurs de chaleur (DTLM)

Puissance échangée
Q = U·A·ΔTlm
Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilan d’un fluide
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Exercices

1.Conduction thermiqueMoyen
Plaque de plâtre, k = 0,17200 mmPolystyrène expansé, k = 0,035100 mm25 °C-6 °CTi​ = ?Q̇

Un mur est composé de 200 mm de plaque de plâtre et de 100 mm de polystyrène expansé, avec une surface de 4 m². Les faces extérieures sont à 25 °C et -6 °C. Trouvez la température Ti à l’interface entre les deux couches.

L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 25 °CT3 = -6 °C
Ti = °C
2.Conduction thermiqueDifficile
Brique, k = 0,72200 mmPlaque de plâtre, k = 0,17100 mmpièce 22 °Cextérieur -2 °CQ̇ = ?

Un mur de 200 mm de brique et 100 mm de plaque de plâtre sépare une pièce à 22 °C de l’air extérieur à -2 °C. Les coefficients de convection valent 10 W/(m²·K) à l’intérieur et 25 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 10 m². Trouvez la perte de chaleur Q̇ à travers le mur.

L1 = 200 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 10 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -2 °C
Q̇ = W
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
longueurT95 °C45 °C55 °C30 °CΔT₁ΔT₂contre-courant

Un échangeur à contre-courant transfère 430 kW. Le fluide chaud se refroidit de 95 à 45 °C et le fluide froid se réchauffe de 30 à 55 °C. Le coefficient global d’échange vaut 1500 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.

Q̇ = 430 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 95 → 45 °CTc: 30 → 55 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
longueurT120 °C70 °C10 °C?ΔT₁ΔT₂co-courant

Dans un échangeur à tubes concentriques à co-courant, de l’huile chaude (1 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) circule dans le tube intérieur et se refroidit de 120 à 70 °C. L’eau (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) circulant dans l’espace annulaire entre à 10 °C. Le tube intérieur a un diamètre de 25 mm, et U = 500 W/(m²·K) est rapporté à ce diamètre. Trouvez la longueur de tube L nécessaire.

ṁh = 1 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 120 → 70 °Cṁc = 1 kg/sTc,in = 10 °CD = 25 mmU = 500 W/(m²·K)
L = m

3Solutions

1.Conduction thermique

Réponse: Ti = 15,96 °C

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances des couches

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·4) = 0,2941 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,035·4) = 0,7143 K/W

Flux de chaleur

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 31/1,008 = 30,74 W

Température à l’interface

La température baisse de Q̇·R₁ dans la première couche.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 25 − 30,74·0,2941 = 15,96 °C

Réponse

Ti = 15,96 °C
2.Conduction thermique

Réponse: Q̇ = 238,6 W

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances en série

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·10) = 0,01 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,72·10) = 0,02778 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·10) = 0,05882 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·10) = 0,004 K/W
ΣR = 0,1006 K/W

Perte de chaleur

Q̇ = (22 − (-2))/0,1006 = 238,6 W

Réponse

Q̇ = 238,6 W
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: A = 11,25 m²

Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.

Écarts de température aux extrémités

À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 95 − 55 = 40 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 45 − 30 = 15 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (40 − 15)/ln(40/15) = 25,49 K

Surface

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 430000/(1500·25,49) = 11,25 m²

Réponse

A = 11,25 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: L = 40,88 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Puissance échangée et température de sortie de l’eau

Q̇ = 1·2,1·(120 − 70) = 105 kW
Tc,out = 10 + 105/(1·4,18) = 35,12 °C

Écarts de température aux extrémités

À co-courant, les deux entrées sont du même côté, et les deux sorties de l’autre.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 120 − 10 = 110 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 70 − 35,12 = 34,88 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (110 − 34,88)/ln(110/34,88) = 65,4 K

Surface et longueur

A = 105000/(500·65,4) = 3,211 m²
L = A/(πD) = 3,211/(π·0,025) = 40,88 m

Réponse

L = 40,88 m

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