Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 200 mm de béton et de 150 mm de brique, avec une surface de 10 m². Les faces extérieures sont à 24 °C et 0 °C. Trouvez le flux de chaleur Q̇ à travers le mur.
L1 = 200 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 24 °CT3 = 0 °C
Q̇ = W
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 100 mm de béton et 50 mm de bois sépare une pièce à 20 °C de l’air extérieur à -5 °C. Les coefficients de convection valent 8 W/(m²·K) à l’intérieur et 30 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 4 m². Trouvez le coefficient de transmission thermique global U du mur.
L1 = 100 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 4 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -5 °C
U = W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Un échangeur à faisceau tubulaire et calandre (une passe côté calandre, deux passes côté tubes) doit transférer 320 kW. Le fluide chaud se refroidit de 110 à 85 °C et le fluide froid se réchauffe de 10 à 50 °C. Le facteur de correction de la DTLM pour cette configuration vaut F = 0,8, et U = 200 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.
Q̇ = 320 kWF = 0,8U = 200 W/(m²·K)Th: 110 → 85 °CTc: 10 → 50 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
Dans un échangeur à tubes concentriques à contre-courant, de l’huile chaude (0,3 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) circule dans le tube intérieur et se refroidit de 125 à 70 °C. L’eau (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) circulant dans l’espace annulaire entre à 20 °C. Le tube intérieur a un diamètre de 50 mm, et U = 300 W/(m²·K) est rapporté à ce diamètre. Trouvez la longueur de tube L nécessaire.
ṁh = 0,3 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 125 → 70 °Cṁc = 1,5 kg/sTc,in = 20 °CD = 50 mmU = 300 W/(m²·K)
L = m
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Q̇ = 683,4 W
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(1,4·10) = 0,01429 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,72·10) = 0,02083 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 24/0,03512 = 683,4 W
Réponse
Q̇ = 683,4 W
2.Conduction thermique
Réponse: U = 1,909 W/(m²·K)
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·4) = 0,03125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(1,4·4) = 0,01786 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·4) = 0,07353 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·4) = 0,008333 K/W
ΣR = 0,131 K/W
Coefficient global
U = 1/(A·ΣR) = 1/(4·0,131) = 1,909 W/(m²·K)
Réponse
U = 1,909 W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 29,75 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Écarts de température aux extrémités (contre-courant)
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 110 − 50 = 60 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 85 − 10 = 75 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (60 − 75)/ln(60/75) = 67,22 K
Surface
A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 320000/(200·0,8·67,22) = 29,75 m²
Réponse
A = 29,75 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: L = 11,23 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Puissance échangée et température de sortie de l’eau
Q̇ = 0,3·2,3·(125 − 70) = 37,95 kW
Tc,out = 20 + 37,95/(1,5·4,18) = 26,05 °C
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 125 − 26,05 = 98,95 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 70 − 20 = 50 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (98,95 − 50)/ln(98,95/50) = 71,71 K
Surface et longueur
A = 37950/(300·71,71) = 1,764 m²
L = A/(πD) = 1,764/(π·0,05) = 11,23 m
Réponse
L = 11,23 m
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