Transferts thermiques : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Conduction thermique

Loi de Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Résistance de conduction
R = L/(kA)
Résistance de convection
R = 1/(hA)
Résistances en série
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Coefficient U
U = 1/(ΣR·A)

Échangeurs de chaleur (DTLM)

Puissance échangée
Q = U·A·ΔTlm
Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilan d’un fluide
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Exercices

1.Conduction thermiqueMoyen
Brique, k = 0,72250 mmVerre, k = 0,96150 mm15 °C7 °CQ̇ = ?

Un mur est composé de 250 mm de brique et de 150 mm de verre, avec une surface de 6 m². Les faces extérieures sont à 15 °C et 7 °C. Trouvez le flux de chaleur Q̇ à travers le mur.

L1 = 250 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 15 °CT3 = 7 °C
Q̇ = W
2.Conduction thermiqueDifficile
Béton, k = 1,4200 mmPlaque de plâtre, k = 0,17100 mmpièce 21 °Cextérieur 2 °CTs​ = ?Q̇

Un mur de 200 mm de béton et 100 mm de plaque de plâtre sépare une pièce à 21 °C de l’air extérieur à 2 °C. Les coefficients de convection valent 8 W/(m²·K) à l’intérieur et 25 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 12 m². Trouvez la température Ts de la face intérieure du mur.

L1 = 200 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = 2 °C
Ts = °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
longueurT175 °C35 °C65 °C10 °CΔT₁ΔT₂contre-courant

Un échangeur de chaleur à contre-courant transfère 490 kW. Sa surface d’échange est de 6 m². Le fluide chaud se refroidit de 175 à 35 °C et le fluide froid se réchauffe de 10 à 65 °C. Trouvez le coefficient global d’échange U.

Q̇ = 490 kWA = 6 m²Th: 175 → 35 °CTc: 10 → 65 °C
U = W/(m²·K)
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
longueurT140 °C60 °C?15 °CΔT₁ΔT₂contre-courant

Dans un échangeur à tubes concentriques à contre-courant, de l’huile chaude (1 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) circule dans le tube intérieur et se refroidit de 140 à 60 °C. L’eau (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) circulant dans l’espace annulaire entre à 15 °C. Le tube intérieur a un diamètre de 20 mm, et U = 300 W/(m²·K) est rapporté à ce diamètre. Trouvez la longueur de tube L nécessaire.

ṁh = 1 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 140 → 60 °Cṁc = 1 kg/sTc,in = 15 °CD = 20 mmU = 300 W/(m²·K)
L = m

3Solutions

1.Conduction thermique

Réponse: Q̇ = 95,34 W

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances des couches

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,72·6) = 0,05787 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,96·6) = 0,02604 K/W

Flux de chaleur

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 8/0,08391 = 95,34 W

Réponse

Q̇ = 95,34 W
2.Conduction thermique

Réponse: Ts = 18,35 °C

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances en série

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·12) = 0,01042 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(1,4·12) = 0,0119 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·12) = 0,04902 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·12) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,07467 K/W

Perte de chaleur

Q̇ = (21 − (2))/0,07467 = 254,4 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 254,4·0,01042 = 18,35 °C

Réponse

Ts = 18,35 °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: U = 1424 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Écarts de température aux extrémités

À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 175 − 65 = 110 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 35 − 10 = 25 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (110 − 25)/ln(110/25) = 57,37 K

Coefficient global

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 490000/(6·57,37) = 1424 W/(m²·K)

Réponse

U = 1424 W/(m²·K)
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: L = 159,4 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Puissance échangée et température de sortie de l’eau

Q̇ = 1·2,3·(140 − 60) = 184 kW
Tc,out = 15 + 184/(1·4,18) = 59,02 °C

Écarts de température aux extrémités

À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 140 − 59,02 = 80,98 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 15 = 45 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (80,98 − 45)/ln(80,98/45) = 61,24 K

Surface et longueur

A = 184000/(300·61,24) = 10,02 m²
L = A/(πD) = 10,02/(π·0,02) = 159,4 m

Réponse

L = 159,4 m

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