Poussée hydrostatique
- Pression à une profondeur
- p = ρgh
- Force sur une paroi verticale
- F = ρg·hc·A
- Centre de poussée
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectangle
- Ic = bH³/12
Hydraulique : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Continuité et Bernoulli
- Continuité
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Débit
- Q = A·v
- Aire du disque
- A = πd²/4
Frottement en conduite et pertes de charge
- Nombre de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régime d’écoulement
- laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
- Vitesse moyenne
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pertes de charge singulières
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valeurs typiques de K
- entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
- Chute de pression
- Δp = ρ·g·hf
- Deux réservoirs à l’air libre
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sortie libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompes et puissance de pompage
- Puissance hydraulique
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Puissance sur l’arbre
- Pshaft = Ph/ηpump
- Puissance électrique
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Hauteur manométrique de la pompe
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pertes du réseau
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Écoulement à surface libre (Manning)
- Formule de Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Débit
- Q = A·V
- Rayon hydraulique
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rectangle
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapèze (fruit des berges z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Conduite circulaire, pleine ou à moitié pleine
- R = D/4
- Pente nécessaire
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Exercices
1.Poussée hydrostatiqueMoyen
Une vanne rectangulaire verticale de 3 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 3 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
d = 3 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Poussée hydrostatiqueDifficile
Une vanne rectangulaire verticale de 1 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de huile, avec son bord supérieur à 0,5 m sous la surface. Trouvez la profondeur ycp du centre de poussée sous la surface.
d = 0,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuité et BernoulliMoyen
L’eau circule dans une conduite horizontale qui se rétrécit de 100 mm à 50 mm. Dans la partie large, la pression vaut 340 kPa et la vitesse 2 m/s. En négligeant les pertes, trouvez la pression p2 dans la partie étroite.
d1 = 100 mmd2 = 50 mmp1 = 340 kPav1 = 2 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuité et BernoulliDifficile
Un réservoir d’eau fermé contient de l’air comprimé au-dessus de l’eau à une pression relative de 100 kPa. L’eau sort à l’air libre par un orifice de 25 mm de diamètre, situé 1 m sous la surface de l’eau. En négligeant les pertes, trouvez le débit Q. Prenez g = 9,81 m/s².
pair = 100 kPa (relative)h = 1 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen
De l’eau s’écoule avec un débit de 3 L/s dans une conduite de 800 m de long et de diamètre intérieur 75 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,02 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement hf.
Q = 3 L/sL = 800 mD = 75 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile
Une conduite de 150 m de long et de diamètre intérieur 300 mm (coefficient de frottement de Darcy f = 0,02) part d’un réservoir à l’air libre et débouche à l’air libre en jet. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 4 coudes (K = 0,3 chacun) et une vanne (K = 10). Prenez g = 9,81 m/s². De combien H la surface du réservoir doit-elle être au-dessus de la sortie de la conduite pour un débit de 150 L/s ?
Q = 150 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 10
H = m
7.Pompes et puissance de pompageMoyen
Lors d’un essai, une pompe débite 15 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 78 m tandis que son arbre absorbe 15,3 kW. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le rendement de la pompe η en pourcentage.
Q = 15 L/sH = 78 mPshaft = 15,3 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompes et puissance de pompageDifficile
Une pompe refoule 50 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 10 m plus haut. La conduite mesure 100 m de long, a un diamètre intérieur de 150 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,015 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 3 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le réservoir supérieur est fermé et l’air au-dessus de l’eau est à une pression relative de 100 kPa. Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.
Q = 50 L/sΔz = 10 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 3ptank = 100 kPa
H = m
9.Écoulement à surface libre (Manning)Moyen
Un collecteur d’eaux pluviales en béton de diamètre intérieur 750 mm coule tout juste plein (en écoulement à surface libre, pas en charge). n de Manning = 0,013 et la pente vaut S = 0,001. Trouvez le débit Q en m³/s.
D = 750 mmn = 0,013S = 0,001
Q = m³/s
10.Écoulement à surface libre (Manning)Difficile
Un collecteur en béton de diamètre intérieur 250 mm (n de Manning = 0,013) doit atteindre une vitesse d’autocurage de 1,2 m/s lorsqu’il coule tout juste plein. Trouvez la pente minimale S (en m/m).
D = 250 mmn = 0,013V = 1,2 m/s
S = m/m
3Solutions
1.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 103 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3,5 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,5·3 = 103 kN
Réponse
F = 103 kN
2.Poussée hydrostatique
Réponse: ycp = 2,375 m
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·2·3 = 51,8 kN
Centre de poussée
La pression augmente avec la profondeur, donc la résultante agit sous le centre de gravité.
Ic = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2,25 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2 + 2,25/(2·3) = 2,375 m
Réponse
ycp = 2,375 m
3.Continuité et Bernoulli
Réponse: p2 = 310 kPa
Continuité et Bernoulli : pour un fluide incompressible, le débit est le même dans toutes les sections, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Le long d’une ligne de courant sans pertes, p + ½ρv² + ρgz est constant, donc là où le fluide va plus vite ou plus haut, sa pression est plus faible.
Continuité et Bernoulli
Travaillez en Pa, puis divisez par 1000 pour obtenir des kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 2·(100/50)² = 8 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2² − 8²)/1000 = −30 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 340 + (−30) = 310 kPa
Réponse
p2 = 310 kPa
4.Continuité et Bernoulli
Réponse: Q = 7,275 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Bernoulli de la surface au jet
v = √(2·(100000/1000 + 9,81·1)) = 14,82 m/s
Débit
Q = A·v = 0,0004909·14,82 = 0,007275 m³/s = 7,275 L/s
Réponse
Q = 7,275 L/s
5.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: hf = 5,014 m
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Vitesse moyenne
A = π·0,075²/4 = 0,004418 m²
V = Q/A = 0,003/0,004418 = 0,6791 m/s
Hauteur cinétique
V²/(2g) = 0,6791²/(2·9,81) = 0,0235 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(800/0,075)·0,6791²/(2·9,81) = 5,014 m
Réponse
hf = 5,014 m
6.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: H = 5,21 m
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Vitesse
V = Q/A = 0,15/0,07069 = 2,122 m/s
V²/(2g) = 0,2295 m
Coefficients de perte de charge
f·L/D = 0,02·150/0,3 = 10
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 = 11,7
Équation de l’énergie
Le jet de sortie emporte encore sa hauteur cinétique ; ce n’est pas une perte, mais elle doit être fournie.
H = (1 + 10 + 11,7)·0,2295 = 5,21 m
Réponse
H = 5,21 m
7.Pompes et puissance de pompage
Réponse: η = 75,02 %
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Puissance hydraulique
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·78 = 11,48 kW
Rendement
η = Ph/Pshaft = 11,48/15,3 = 75,02%
Réponse
η = 75,02%
8.Pompes et puissance de pompage
Réponse: H = 25,5 m
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Vitesse
V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m
Pertes de charge
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10 + 3)·0,408 = 5,304 m
Hauteur de pression
p/(ρ·g) = 100000/(1000·9,81) = 10,19 m
Hauteur manométrique de la pompe
Les deux surfaces sont pratiquement au repos ; il n’y a donc pas de terme de hauteur cinétique.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 10 + 10,19 + 5,304 = 25,5 m
Réponse
H = 25,5 m
9.Écoulement à surface libre (Manning)
Réponse: Q = 0,352 m³/s
Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R2/3·S1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.
Géométrie
A = 0,4418 m², R = D/4 = 0,1875 m
Vitesse
V = (1/0,013)·0,18752/3·0,0011/2 = 0,7969 m/s
Débit
Q = A·V = 0,4418·0,7969 = 0,352 m³/s
Réponse
Q = 0,352 m³/s
10.Écoulement à surface libre (Manning)
Réponse: S = 0,009812 m/m
Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R2/3·S1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.
Rayon hydraulique
R = D/4 = 0,25/4 = 0,0625 m
Résoudre Manning pour S
S = (n·V/R2/3)² = (0,013·1,2/0,1575)² = 0,009812
Réponse
S = 0,009812
Cela correspond à une pente de 9,812 m par kilomètre.
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