Poussée hydrostatique
- Pression à une profondeur
- p = ρgh
- Force sur une paroi verticale
- F = ρg·hc·A
- Centre de poussée
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectangle
- Ic = bH³/12
Hydraulique : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Continuité et Bernoulli
- Continuité
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Débit
- Q = A·v
- Aire du disque
- A = πd²/4
Frottement en conduite et pertes de charge
- Nombre de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régime d’écoulement
- laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
- Vitesse moyenne
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pertes de charge singulières
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valeurs typiques de K
- entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
- Chute de pression
- Δp = ρ·g·hf
- Deux réservoirs à l’air libre
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sortie libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompes et puissance de pompage
- Puissance hydraulique
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Puissance sur l’arbre
- Pshaft = Ph/ηpump
- Puissance électrique
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Hauteur manométrique de la pompe
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pertes du réseau
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Écoulement à surface libre (Manning)
- Formule de Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Débit
- Q = A·V
- Rayon hydraulique
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rectangle
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapèze (fruit des berges z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Conduite circulaire, pleine ou à moitié pleine
- R = D/4
- Pente nécessaire
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Exercices
1.Poussée hydrostatiqueMoyen
Une vanne rectangulaire verticale de 3 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 0,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
d = 0,5 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Poussée hydrostatiqueDifficile
Une vanne rectangulaire verticale de 1,5 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de huile, avec son bord supérieur à 2,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
d = 2,5 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuité et BernoulliMoyen
De l’eau s’écoule dans un venturimètre horizontal de diamètre d’entrée 200 mm et de diamètre au col 100 mm. La pression à l’entrée dépasse de 45 kPa celle au col. En négligeant les pertes, trouvez le débit Q.
d1 = 200 mmd2 = 100 mmp1 − p2 = 45 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Continuité et BernoulliDifficile
L’eau monte dans une conduite qui se rétrécit de 75 mm à 50 mm en s’élevant de 8 m. En section 1, la pression vaut 180 kPa et la vitesse 0,75 m/s. En négligeant les pertes, trouvez la pression p2 en section 2.
d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 180 kPav1 = 0,75 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen
De l’eau s’écoule avec un débit de 3 L/s dans une conduite de 300 m de long et de diamètre intérieur 50 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,018 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement hf.
Q = 3 L/sL = 300 mD = 50 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile
Une conduite de 200 m de long et de diamètre intérieur 250 mm (coefficient de frottement de Darcy f = 0,02) part d’un réservoir à l’air libre et débouche à l’air libre en jet. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 2 coudes (K = 0,3 chacun) et une vanne (K = 5). Prenez g = 9,81 m/s². De combien H la surface du réservoir doit-elle être au-dessus de la sortie de la conduite pour un débit de 80 L/s ?
Q = 80 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 5
H = m
7.Pompes et puissance de pompageMoyen
Lors d’un essai, une pompe débite 10 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 56 m tandis que son arbre absorbe 7,6 kW. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le rendement de la pompe η en pourcentage.
Q = 10 L/sH = 56 mPshaft = 7,6 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompes et puissance de pompageDifficile
Une pompe refoule 50 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 15 m plus haut. La conduite mesure 600 m de long, a un diamètre intérieur de 150 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,02 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 8 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le réservoir supérieur est fermé et l’air au-dessus de l’eau est à une pression relative de 250 kPa. Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.
Q = 50 L/sΔz = 15 mL = 600 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 8ptank = 250 kPa
H = m
9.Écoulement à surface libre (Manning)Moyen
Un canal trapézoïdal en béton brut a une largeur au fond de 6 m et un fruit des berges de 1,5:1 (horizontal:vertical). L’eau s’écoule uniformément sur 1,7 m de profondeur. n de Manning = 0,014 et la pente du fond vaut S = 0,0015. Trouvez le débit Q en m³/s.
b = 6 my = 1,7 mz = 1,5n = 0,014S = 0,0015
Q = m³/s
10.Écoulement à surface libre (Manning)Difficile
Un canal rectangulaire en béton brut de 1 m de large doit transporter 1,3 m³/s en écoulement uniforme à une profondeur de 1 m. n de Manning = 0,014. Trouvez la pente du fond nécessaire S (en m/m).
Q = 1,3 m³/sb = 1 my = 1 mn = 0,014
S = m/m
3Solutions
1.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 128,8 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m
A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,75·7,5 = 128,8 kN
Réponse
F = 128,8 kN
2.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 121,4 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m
A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·3,75·3,75 = 121,4 kN
Réponse
F = 121,4 kN
3.Continuité et Bernoulli
Réponse: Q = 76,95 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Continuité
v1 = v2·(100/200)² = 0,25·v2
Bernoulli entre l’entrée et le col
La conduite est horizontale, donc seules la pression et la vitesse varient.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·45000/(1000·(1 − 0,0625))) = 9,798 m/s
v1 = 2,449 m/s
Débit
Q = A2·v2 = 0,007854·9,798 = 0,07695 m³/s = 76,95 L/s
Réponse
Q = 76,95 L/s
4.Continuité et Bernoulli
Réponse: p2 = 100,4 kPa
Continuité et Bernoulli : pour un fluide incompressible, le débit est le même dans toutes les sections, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Le long d’une ligne de courant sans pertes, p + ½ρv² + ρgz est constant, donc là où le fluide va plus vite ou plus haut, sa pression est plus faible.
Continuité et Bernoulli
Travaillez en Pa, puis divisez par 1000 pour obtenir des kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 0,75·(75/50)² = 1,688 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,75² − 1,688²)/1000 = −1,143 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·8/1000 = 78,48 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 180 + (−1,143) − 78,48 = 100,4 kPa
Réponse
p2 = 100,4 kPa
5.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: hf = 12,85 m
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Vitesse moyenne
A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²
V = Q/A = 0,003/0,001963 = 1,528 m/s
Hauteur cinétique
V²/(2g) = 1,528²/(2·9,81) = 0,119 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(300/0,05)·1,528²/(2·9,81) = 12,85 m
Réponse
hf = 12,85 m
6.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: H = 3,127 m
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Vitesse
V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s
V²/(2g) = 0,1354 m
Coefficients de perte de charge
f·L/D = 0,02·200/0,25 = 16
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 = 6,1
Équation de l’énergie
Le jet de sortie emporte encore sa hauteur cinétique ; ce n’est pas une perte, mais elle doit être fournie.
H = (1 + 16 + 6,1)·0,1354 = 3,127 m
Réponse
H = 3,127 m
7.Pompes et puissance de pompage
Réponse: η = 72,28 %
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Puissance hydraulique
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·56 = 5,494 kW
Rendement
η = Ph/Pshaft = 5,494/7,6 = 72,28%
Réponse
η = 72,28%
8.Pompes et puissance de pompage
Réponse: H = 76,39 m
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Vitesse
V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m
Pertes de charge
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (80 + 8)·0,408 = 35,91 m
Hauteur de pression
p/(ρ·g) = 250000/(1000·9,81) = 25,48 m
Hauteur manométrique de la pompe
Les deux surfaces sont pratiquement au repos ; il n’y a donc pas de terme de hauteur cinétique.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 15 + 25,48 + 35,91 = 76,39 m
Réponse
H = 76,39 m
9.Écoulement à surface libre (Manning)
Réponse: Q = 45,36 m³/s
Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R2/3·S1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.
Géométrie
A = (b + z·y)·y = (6 + 1,5·1,7)·1,7 = 14,54 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·1,7·√(1 + 1,5²) = 12,13 m
R = A/P = 1,198 m
Vitesse
V = (1/0,014)·1,1982/3·0,00151/2 = 3,121 m/s
Débit
Q = A·V = 14,54·3,121 = 45,36 m³/s
Réponse
Q = 45,36 m³/s
10.Écoulement à surface libre (Manning)
Réponse: S = 0,001433 m/m
Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R2/3·S1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.
Géométrie
A = b·y = 1·1 = 1 m²
P = b + 2y = 1 + 2·1 = 3 m
R = A/P = 0,3333 m
Résoudre Manning pour S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,014·1,3/(1·0,4807) = 0,03786
S = 0,03786² = 0,001433
Réponse
S = 0,001433
Cela correspond à une pente de 1,433 m par kilomètre.
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