Hydraulique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Poussée hydrostatique

Pression à une profondeur: p = ρgh
Force sur une paroi verticale: F = ρg·h_c·A
Centre de poussée: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectangle: I_c = bH³/12

Continuité et Bernoulli

Continuité: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Débit: Q = A·v
Aire du disque: A = πd²/4

Frottement en conduite et pertes de charge

Nombre de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régime d’écoulement: laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
Vitesse moyenne: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pertes de charge singulières: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valeurs typiques de K: entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
Chute de pression: Δp = ρ·g·h_f
Deux réservoirs à l’air libre: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sortie libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompes et puissance de pompage

Puissance hydraulique: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Puissance sur l’arbre: P_shaft = P_h/η_pump
Puissance électrique: P_el = P_shaft/η_motor
Hauteur manométrique de la pompe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pertes du réseau: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Écoulement à surface libre (Manning)

Formule de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Débit: Q = A·V
Rayon hydraulique: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rectangle: A = b·y, P = b + 2y
Trapèze (fruit des berges z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Conduite circulaire, pleine ou à moitié pleine: R = D/4
Pente nécessaire: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercices

1.Poussée hydrostatiqueMoyen

Une vanne rectangulaire verticale de 2 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 3 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 3 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Poussée hydrostatiqueDifficile

Une vanne rectangulaire verticale de 1 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de huile, avec son bord supérieur à 2,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuité et BernoulliMoyen

De l’eau s’écoule d’un grand réservoir ouvert par un orifice à arête vive de 50 mm de diamètre. Le niveau d’eau est maintenu à 1,5 m au-dessus de l’orifice et le coefficient de débit vaut 0,62. Trouvez le débit Q. Prenez g = 9,81 m/s².

d = 50 mmh = 1,5 mC_d = 0,62g = 9,81 m/s²

Q = L/s

4.Continuité et BernoulliDifficile

La buse d’une fontaine est dirigée verticalement vers le haut. Juste sous la buse, la conduite d’alimentation a un diamètre de 75 mm et une pression relative de 130 kPa. Le diamètre de sortie de la buse est de 40 mm et la différence de hauteur à travers la buse est négligeable. En négligeant les pertes et la résistance de l’air, trouvez la hauteur H à laquelle le jet s’élève au-dessus de la buse. Prenez g = 9,81 m/s².

d₁ = 75 mmp₁ = 130 kPa (relative)d₂ = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen

De l’eau s’écoule avec un débit de 15 L/s dans une conduite de 800 m de long et de diamètre intérieur 75 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,018 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement h_f.

Q = 15 L/sL = 800 mD = 75 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile

Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 150 m de long, de diamètre intérieur 150 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,018. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 3 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 0,2) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Quelle différence de niveau d’eau Δz entre les réservoirs donne un débit de 50 L/s ?

Q = 50 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompes et puissance de pompageMoyen

Une pompe débite 30 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 78 m. Le rendement de la pompe est de 70 % et le moteur électrique qui l’entraîne a un rendement de 92 %. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance électrique P_el absorbée par le moteur, en kW.

Q = 30 L/sH = 78 mη_pump = 70%η_motor = 92%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompes et puissance de pompageDifficile

Une pompe refoule 100 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 7 m plus haut. La conduite mesure 500 m de long, a un diamètre intérieur de 250 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,018 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 8 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.

Q = 100 L/sΔz = 7 mL = 500 mD = 250 mmf = 0,018ΣK = 8

H = m

9.Écoulement à surface libre (Manning)Moyen

Un canal trapézoïdal en maçonnerie de briques a une largeur au fond de 2,5 m et un fruit des berges de 3:1 (horizontal:vertical). L’eau s’écoule uniformément sur 0,6 m de profondeur. n de Manning = 0,015 et la pente du fond vaut S = 0,0008. Trouvez le débit Q en m³/s.

b = 2,5 my = 0,6 mz = 3n = 0,015S = 0,0008

Q = m³/s

10.Écoulement à surface libre (Manning)Difficile

Un canal trapézoïdal en béton lissé de largeur au fond 4 m et de fruit des berges 3:1 (horizontal:vertical) doit transporter 24 m³/s en écoulement uniforme à une profondeur de 1,3 m. n de Manning = 0,012. Trouvez la pente du fond nécessaire S (en m/m).

Q = 24 m³/sb = 4 my = 1,3 mz = 3n = 0,012

S = m/m

3Solutions

1.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 264,9 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·6 = 264,9 kN

Réponse

F = 264,9 kN

2.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 80,93 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·3,75·2,5 = 80,93 kN

Réponse

F = 80,93 kN

3.Continuité et Bernoulli

Réponse: Q = 6,604 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Vitesse idéale du jet

√(2gh) = √(2·9,81·1,5) = 5,425 m/s

Débit réel

Le coefficient de débit tient compte de la contraction du jet et du frottement sur l’arête.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,62·0,001963·5,425 = 0,006604 m³/s = 6,604 L/s

Réponse

Q = 6,604 L/s

4.Continuité et Bernoulli

Réponse: H = 14,42 m

Vitesse de sortie

β = 40/75 = 0,5333

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·130000/(1000·0,9191)) = 16,82 m/s

Hauteur du jet

Bernoulli le long du jet : au sommet, la vitesse est nulle et la pression est de nouveau atmosphérique.

H = v₂²/(2g) = 16,82²/(2·9,81) = 14,42 m

Réponse

H = 14,42 m

5.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: h_f = 112,8 m

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières h_m = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = h_f + h_m, perte de sortie K = 1 comprise.

Vitesse moyenne

A = π·0,075²/4 = 0,004418 m²

V = Q/A = 0,015/0,004418 = 3,395 m/s

Hauteur cinétique

V²/(2g) = 3,395²/(2·9,81) = 0,5876 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(800/0,075)·3,395²/(2·9,81) = 112,8 m

Réponse

h_f = 112,8 m

6.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: Δz = 8,405 m

Vitesse

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Coefficients de perte de charge

f·L/D = 0,018·150/0,15 = 18

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,6

Perte de charge totale

h_f = 18·0,408 = 7,345 m

h_m = 2,6·0,408 = 1,061 m

Δz = h_f + h_m = 8,405 m

Réponse

Δz = 8,405 m

7.Pompes et puissance de pompage

Réponse: P_el = 35,65 kW

Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : P_shaft = P_h/η_pump, et le moteur absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.

Puissance hydraulique

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·78 = 22,96 kW

Puissance sur l’arbre

P_shaft = 22,96/0,7 = 32,79 kW

Puissance électrique

P_el = 32,79/0,92 = 35,65 kW

Réponse

P_el = 35,65 kW

8.Pompes et puissance de pompage

Réponse: H = 16,31 m

Vitesse

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Pertes de charge

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (36 + 8)·0,2115 = 9,307 m

Hauteur manométrique de la pompe

Les deux surfaces sont à l’air libre et pratiquement au repos ; les termes de pression et de vitesse disparaissent donc.

H = Δz + h_L = 7 + 9,307 = 16,31 m

Réponse

H = 16,31 m

9.Écoulement à surface libre (Manning)

Réponse: Q = 2,684 m³/s

Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.

Géométrie

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 3·0,6)·0,6 = 2,58 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·0,6·√(1 + 3²) = 6,295 m

R = A/P = 0,4099 m

Vitesse

V = (1/0,015)·0,4099^2/3·0,0008^1/2 = 1,04 m/s

Débit

Q = A·V = 2,58·1,04 = 2,684 m³/s

Réponse

Q = 2,684 m³/s

10.Écoulement à surface libre (Manning)

Réponse: S = 0,0009918 m/m

Géométrie

A = (b + z·y)·y = (4 + 3·1,3)·1,3 = 10,27 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·1,3·√(1 + 3²) = 12,22 m

R = A/P = 0,8403 m

Résoudre Manning pour S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·24/(10,27·0,8905) = 0,03149

S = 0,03149² = 0,0009918

Réponse

S = 0,0009918

Cela correspond à une pente de 0,9918 m par kilomètre.

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