Hydraulique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Poussée hydrostatique

Pression à une profondeur: p = ρgh
Force sur une paroi verticale: F = ρg·h_c·A
Centre de poussée: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectangle: I_c = bH³/12

Continuité et Bernoulli

Continuité: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Débit: Q = A·v
Aire du disque: A = πd²/4

Frottement en conduite et pertes de charge

Nombre de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régime d’écoulement: laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
Vitesse moyenne: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pertes de charge singulières: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valeurs typiques de K: entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
Chute de pression: Δp = ρ·g·h_f
Deux réservoirs à l’air libre: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sortie libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompes et puissance de pompage

Puissance hydraulique: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Puissance sur l’arbre: P_shaft = P_h/η_pump
Puissance électrique: P_el = P_shaft/η_motor
Hauteur manométrique de la pompe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pertes du réseau: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Écoulement à surface libre (Manning)

Formule de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Débit: Q = A·V
Rayon hydraulique: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rectangle: A = b·y, P = b + 2y
Trapèze (fruit des berges z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Conduite circulaire, pleine ou à moitié pleine: R = D/4
Pente nécessaire: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercices

1.Poussée hydrostatiqueMoyen

Une vanne rectangulaire verticale de 3 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 2,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 2,5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Poussée hydrostatiqueDifficile

Une vanne rectangulaire verticale de 1 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau de mer, avec son bord supérieur à 0,5 m sous la surface. Trouvez la profondeur y_cp du centre de poussée sous la surface.

d = 0,5 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuité et BernoulliMoyen

L’eau circule dans une conduite horizontale qui se rétrécit de 100 mm à 50 mm. Dans la partie large, la pression vaut 400 kPa et la vitesse 3 m/s. En négligeant les pertes, trouvez la pression p₂ dans la partie étroite.

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 400 kPav₁ = 3 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuité et BernoulliDifficile

Un tuyau de 20 mm de diamètre intérieur siphonne l’eau d’un réservoir ouvert. Le point le plus haut C du tuyau est à 3 m au-dessus de la surface de l’eau, et la sortie (à l’air libre) est à 2,5 m sous la surface de l’eau. Négligez les pertes et prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la pression absolue p_C au point C. La pression atmosphérique vaut 101,3 kPa.

d = 20 mmz_C = +3 mz₂ = −2,5 mg = 9,81 m/s²p_atm = 101,3 kPa

p_C = kPa

5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen

De l’eau s’écoule avec un débit de 40 L/s dans une conduite de 200 m de long et de diamètre intérieur 250 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,025 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement h_f.

Q = 40 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile

Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 150 m de long, de diamètre intérieur 150 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,015. La surface de l’eau du réservoir supérieur est 30 m plus haut que celle du réservoir inférieur. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 2 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 5) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le débit Q en L/s.

Δz = 30 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Pompes et puissance de pompageMoyen

Lors d’un essai, une pompe débite 150 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 44 m tandis que son arbre absorbe 99,6 kW. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le rendement de la pompe η en pourcentage.

Q = 150 L/sH = 44 mP_shaft = 99,6 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Pompes et puissance de pompageDifficile

Une pompe refoule 100 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 22 m plus haut. La conduite mesure 150 m de long, a un diamètre intérieur de 250 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,018 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 8 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le réservoir supérieur est fermé et l’air au-dessus de l’eau est à une pression relative de 400 kPa. Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.

Q = 100 L/sΔz = 22 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,018ΣK = 8p_tank = 400 kPa

H = m

9.Écoulement à surface libre (Manning)Moyen

Un canal trapézoïdal en terre enherbée a une largeur au fond de 1,5 m et un fruit des berges de 1:1 (horizontal:vertical). L’eau s’écoule uniformément sur 1,9 m de profondeur. n de Manning = 0,03 et la pente du fond vaut S = 0,002. Trouvez le débit Q en m³/s.

b = 1,5 my = 1,9 mz = 1n = 0,03S = 0,002

Q = m³/s

10.Écoulement à surface libre (Manning)Difficile

Un collecteur en béton de diamètre intérieur 200 mm (n de Manning = 0,013) doit atteindre une vitesse d’autocurage de 0,75 m/s lorsqu’il coule tout juste plein. Trouvez la pente minimale S (en m/m).

D = 200 mmn = 0,013V = 0,75 m/s

S = m/m

3Solutions

1.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 353,2 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4·9 = 353,2 kN

Réponse

F = 353,2 kN

2.Poussée hydrostatique

Réponse: y_cp = 1,4 m

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1,5/2 = 1,25 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·1,25·1,5 = 18,85 kN

Centre de poussée

La pression augmente avec la profondeur, donc la résultante agit sous le centre de gravité.

I_c = b·H³/12 = 1·1,5³/12 = 0,2813 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1,25 + 0,2813/(1,25·1,5) = 1,4 m

Réponse

y_cp = 1,4 m

3.Continuité et Bernoulli

Réponse: p₂ = 332,5 kPa

Continuité et Bernoulli : pour un fluide incompressible, le débit est le même dans toutes les sections, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Le long d’une ligne de courant sans pertes, p + ½ρv² + ρgz est constant, donc là où le fluide va plus vite ou plus haut, sa pression est plus faible.

Continuité et Bernoulli

Travaillez en Pa, puis divisez par 1000 pour obtenir des kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(100/50)² = 12 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 12²)/1000 = −67,5 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 400 + (−67,5) = 332,5 kPa

Réponse

p₂ = 332,5 kPa

4.Continuité et Bernoulli

Réponse: p_C = 47,34 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Vitesse dans le tuyau

La surface et la sortie sont toutes deux à l’air libre, donc les termes de pression s’annulent.

v = √(2g·2,5) = √(2·9,81·2,5) = 7,004 m/s

Bernoulli de la surface à C

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101,3 − 1000·(7,004²/2 + 9,81·3)/1000 = 101,3 − 53,96 = 47,34 kPa

Réponse

p_C = 47,34 kPa

Si cette pression descend jusqu’à la pression de vapeur de l’eau, le siphon cesse de fonctionner.

5.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: h_f = 0,6769 m

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières h_m = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = h_f + h_m, perte de sortie K = 1 comprise.

Vitesse moyenne

A = π·0,25²/4 = 0,04909 m²

V = Q/A = 0,04/0,04909 = 0,8149 m/s

Hauteur cinétique

V²/(2g) = 0,8149²/(2·9,81) = 0,03384 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(200/0,25)·0,8149²/(2·9,81) = 0,6769 m

Réponse

h_f = 0,6769 m

6.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: Q = 91,2 L/s

Coefficients de perte de charge

f·L/D = 0,015·150/0,15 = 15

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1

Équation de l’énergie

Les deux surfaces sont à l’air libre et pratiquement au repos ; tout Δz est donc perdu dans la conduite.

30 = (15 + 7,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·30/22,1) = 5,161 m/s

Débit

Q = V·π·D²/4 = 5,161·0,01767 = 0,0912 m³/s = 91,2 L/s

Réponse

Q = 91,2 L/s

7.Pompes et puissance de pompage

Réponse: η = 65,01 %

Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : P_shaft = P_h/η_pump, et le moteur absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.

Puissance hydraulique

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·44 = 64,75 kW

Rendement

η = P_h/P_shaft = 64,75/99,6 = 65,01%

Réponse

η = 65,01%

8.Pompes et puissance de pompage

Réponse: H = 66,75 m

Vitesse

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Pertes de charge

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10,8 + 8)·0,2115 = 3,977 m

Hauteur de pression

p/(ρ·g) = 400000/(1000·9,81) = 40,77 m

Hauteur manométrique de la pompe

Les deux surfaces sont pratiquement au repos ; il n’y a donc pas de terme de hauteur cinétique.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 22 + 40,77 + 3,977 = 66,75 m

Réponse

H = 66,75 m

9.Écoulement à surface libre (Manning)

Réponse: Q = 9,239 m³/s

Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.

Géométrie

A = (b + z·y)·y = (1,5 + 1·1,9)·1,9 = 6,46 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1,5 + 2·1,9·√(1 + 1²) = 6,874 m

R = A/P = 0,9398 m

Vitesse

V = (1/0,03)·0,9398^2/3·0,002^1/2 = 1,43 m/s

Débit

Q = A·V = 6,46·1,43 = 9,239 m³/s

Réponse

Q = 9,239 m³/s

10.Écoulement à surface libre (Manning)

Réponse: S = 0,005161 m/m

Rayon hydraulique

R = D/4 = 0,2/4 = 0,05 m

Résoudre Manning pour S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,75/0,1357)² = 0,005161

Réponse

S = 0,005161

Cela correspond à une pente de 5,161 m par kilomètre.

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