Poussée hydrostatique
- Pression à une profondeur
- p = ρgh
- Force sur une paroi verticale
- F = ρg·hc·A
- Centre de poussée
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectangle
- Ic = bH³/12
Hydraulique : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Continuité et Bernoulli
- Continuité
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Débit
- Q = A·v
- Aire du disque
- A = πd²/4
Frottement en conduite et pertes de charge
- Nombre de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régime d’écoulement
- laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
- Vitesse moyenne
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pertes de charge singulières
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valeurs typiques de K
- entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
- Chute de pression
- Δp = ρ·g·hf
- Deux réservoirs à l’air libre
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sortie libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompes et puissance de pompage
- Puissance hydraulique
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Puissance sur l’arbre
- Pshaft = Ph/ηpump
- Puissance électrique
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Hauteur manométrique de la pompe
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pertes du réseau
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Écoulement à surface libre (Manning)
- Formule de Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Débit
- Q = A·V
- Rayon hydraulique
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rectangle
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapèze (fruit des berges z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Conduite circulaire, pleine ou à moitié pleine
- R = D/4
- Pente nécessaire
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Exercices
1.Poussée hydrostatiqueMoyen
Une vanne rectangulaire verticale de 1,5 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 1 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
d = 1 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Poussée hydrostatiqueDifficile
Une vanne rectangulaire verticale de 1 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de huile, avec son bord supérieur à 2,5 m sous la surface. Trouvez la profondeur ycp du centre de poussée sous la surface.
d = 2,5 mH = 1 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuité et BernoulliMoyen
De l’eau s’écoule dans un venturimètre horizontal de diamètre d’entrée 150 mm et de diamètre au col 75 mm. La pression à l’entrée dépasse de 44 kPa celle au col. En négligeant les pertes, trouvez le débit Q.
d1 = 150 mmd2 = 75 mmp1 − p2 = 44 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Continuité et BernoulliDifficile
Un tuyau de 20 mm de diamètre intérieur siphonne l’eau d’un réservoir ouvert. Le point le plus haut C du tuyau est à 2,5 m au-dessus de la surface de l’eau, et la sortie (à l’air libre) est à 5 m sous la surface de l’eau. Négligez les pertes et prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le débit Q.
d = 20 mmzC = +2,5 mz2 = −5 mg = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen
De l’eau (ρ = 1000 kg/m³) s’écoule à 0,9 m/s dans une conduite horizontale de 800 m de long et de diamètre intérieur 75 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,025 et g = 9,81 m/s². Trouvez la chute de pression Δp le long de la conduite, en kPa.
V = 0,9 m/sL = 800 mD = 75 mmf = 0,025ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile
Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 150 m de long, de diamètre intérieur 200 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,018. La surface de l’eau du réservoir supérieur est 14 m plus haut que celle du réservoir inférieur. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 4 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 5) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le débit Q en L/s.
Δz = 14 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompes et puissance de pompageMoyen
Une pompe de rendement 65 % débite 10 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 66 m. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance sur l’arbre Pshaft nécessaire, en kW.
Q = 10 L/sH = 66 mη = 65%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pompes et puissance de pompageDifficile
Une pompe refoule 100 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 16 m plus haut. La conduite mesure 150 m de long, a un diamètre intérieur de 250 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,015 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 8 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le rendement de la pompe est de 65 %. Trouvez la puissance sur l’arbre Pshaft en kW.
Q = 100 L/sΔz = 16 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,015ΣK = 8η = 65%
Pshaft = kW
9.Écoulement à surface libre (Manning)Moyen
Un canal trapézoïdal en béton brut a une largeur au fond de 6 m et un fruit des berges de 2:1 (horizontal:vertical). L’eau s’écoule uniformément sur 2,1 m de profondeur. n de Manning = 0,014 et la pente du fond vaut S = 0,0005. Trouvez le débit Q en m³/s.
b = 6 my = 2,1 mz = 2n = 0,014S = 0,0005
Q = m³/s
10.Écoulement à surface libre (Manning)Difficile
Un canal trapézoïdal en terre propre de largeur au fond 6 m et de fruit des berges 3:1 (horizontal:vertical) doit transporter 4,9 m³/s en écoulement uniforme à une profondeur de 0,7 m. n de Manning = 0,022. Trouvez la pente du fond nécessaire S (en m/m).
Q = 4,9 m³/sb = 6 my = 0,7 mz = 3n = 0,022
S = m/m
3Solutions
1.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 22,07 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1,5 m
A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,5·1,5 = 22,07 kN
Réponse
F = 22,07 kN
2.Poussée hydrostatique
Réponse: ycp = 3,028 m
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·3·1 = 25,9 kN
Centre de poussée
La pression augmente avec la profondeur, donc la résultante agit sous le centre de gravité.
Ic = b·H³/12 = 1·1³/12 = 0,08333 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3 + 0,08333/(3·1) = 3,028 m
Réponse
ycp = 3,028 m
3.Continuité et Bernoulli
Réponse: Q = 42,8 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Continuité
v1 = v2·(75/150)² = 0,25·v2
Bernoulli entre l’entrée et le col
La conduite est horizontale, donc seules la pression et la vitesse varient.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·44000/(1000·(1 − 0,0625))) = 9,688 m/s
v1 = 2,422 m/s
Débit
Q = A2·v2 = 0,004418·9,688 = 0,0428 m³/s = 42,8 L/s
Réponse
Q = 42,8 L/s
4.Continuité et Bernoulli
Réponse: Q = 3,112 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Vitesse dans le tuyau
La surface et la sortie sont toutes deux à l’air libre, donc les termes de pression s’annulent.
v = √(2g·5) = √(2·9,81·5) = 9,905 m/s
Débit
Q = A·v = 0,0003142·9,905 = 0,003112 m³/s = 3,112 L/s
Réponse
Q = 3,112 L/s
5.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: Δp = 108 kPa
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Perte de charge
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(800/0,075)·0,9²/(2·9,81) = 11,01 m
Chute de pression
La conduite est horizontale et la vitesse ne change pas ; l’équation de l’énergie se réduit donc à Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·11,01 = 108000 Pa = 108 kPa
Réponse
Δp = 108 kPa
6.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: Q = 113,1 L/s
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Coefficients de perte de charge
f·L/D = 0,018·150/0,2 = 13,5
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7
Équation de l’énergie
Les deux surfaces sont à l’air libre et pratiquement au repos ; tout Δz est donc perdu dans la conduite.
14 = (13,5 + 7,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·14/21,2) = 3,6 m/s
Débit
Q = V·π·D²/4 = 3,6·0,03142 = 0,1131 m³/s = 113,1 L/s
Réponse
Q = 113,1 L/s
7.Pompes et puissance de pompage
Réponse: Pshaft = 9,961 kW
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Puissance hydraulique
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·66 = 6,475 kW
Puissance sur l’arbre
Pshaft = Ph/η = 6,475/0,65 = 9,961 kW
Réponse
Pshaft = 9,961 kW
8.Pompes et puissance de pompage
Réponse: Pshaft = 29,57 kW
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Vitesse
V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s
V²/(2g) = 0,2115 m
Pertes de charge
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (9 + 8)·0,2115 = 3,596 m
Hauteur manométrique de la pompe
H = Δz + hL = 16 + 3,596 = 19,6 m
Puissance sur l’arbre
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,1·19,6/0,65 = 29,57 kW
Réponse
Pshaft = 29,57 kW
9.Écoulement à surface libre (Manning)
Réponse: Q = 42,65 m³/s
Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R2/3·S1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.
Géométrie
A = (b + z·y)·y = (6 + 2·2,1)·2,1 = 21,42 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·2,1·√(1 + 2²) = 15,39 m
R = A/P = 1,392 m
Vitesse
V = (1/0,014)·1,3922/3·0,00051/2 = 1,991 m/s
Débit
Q = A·V = 21,42·1,991 = 42,65 m³/s
Réponse
Q = 42,65 m³/s
10.Écoulement à surface libre (Manning)
Réponse: S = 0,0008144 m/m
Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R2/3·S1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.
Géométrie
A = (b + z·y)·y = (6 + 3·0,7)·0,7 = 5,67 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·0,7·√(1 + 3²) = 10,43 m
R = A/P = 0,5438 m
Résoudre Manning pour S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,022·4,9/(5,67·0,6662) = 0,02854
S = 0,02854² = 0,0008144
Réponse
S = 0,0008144
Cela correspond à une pente de 0,8144 m par kilomètre.
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