Hydraulique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Poussée hydrostatique

Pression à une profondeur: p = ρgh
Force sur une paroi verticale: F = ρg·h_c·A
Centre de poussée: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectangle: I_c = bH³/12

Continuité et Bernoulli

Continuité: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Débit: Q = A·v
Aire du disque: A = πd²/4

Frottement en conduite et pertes de charge

Nombre de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régime d’écoulement: laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
Vitesse moyenne: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pertes de charge singulières: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valeurs typiques de K: entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
Chute de pression: Δp = ρ·g·h_f
Deux réservoirs à l’air libre: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sortie libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompes et puissance de pompage

Puissance hydraulique: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Puissance sur l’arbre: P_shaft = P_h/η_pump
Puissance électrique: P_el = P_shaft/η_motor
Hauteur manométrique de la pompe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pertes du réseau: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Écoulement à surface libre (Manning)

Formule de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Débit: Q = A·V
Rayon hydraulique: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rectangle: A = b·y, P = b + 2y
Trapèze (fruit des berges z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Conduite circulaire, pleine ou à moitié pleine: R = D/4
Pente nécessaire: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercices

1.Poussée hydrostatiqueMoyen

Une vanne rectangulaire verticale de 2 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 0,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 0,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Poussée hydrostatiqueDifficile

Une vanne rectangulaire verticale de 1,5 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 1 m sous la surface. Trouvez la profondeur y_cp du centre de poussée sous la surface.

d = 1 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuité et BernoulliMoyen

De l’eau s’écoule à 20 L/s dans une conduite horizontale qui se rétrécit de 100 mm à 50 mm. La pression dans la partie étroite vaut 90 kPa. En négligeant les pertes, trouvez la pression p₁ dans la partie large.

Q = 20 L/sd₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₂ = 90 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuité et BernoulliDifficile

Un réservoir d’eau fermé contient de l’air comprimé au-dessus de l’eau à une pression relative de 170 kPa. L’eau sort à l’air libre par un orifice de 25 mm de diamètre, situé 3,5 m sous la surface de l’eau. En négligeant les pertes, trouvez le débit Q. Prenez g = 9,81 m/s².

p_air = 170 kPa (relative)h = 3,5 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen

De l’eau s’écoule à une vitesse moyenne de 1,6 m/s dans une conduite de 100 m de long et de diamètre intérieur 150 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,03 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement h_f.

V = 1,6 m/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile

Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 100 m de long, de diamètre intérieur 250 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,025. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 3 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 2) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Quelle différence de niveau d’eau Δz entre les réservoirs donne un débit de 150 L/s ?

Q = 150 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompes et puissance de pompageMoyen

Une pompe de rendement 72 % débite 40 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 16 m. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance sur l’arbre P_shaft nécessaire, en kW.

Q = 40 L/sH = 16 mη = 72%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pompes et puissance de pompageDifficile

Une pompe refoule 75 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 17 m plus haut. La conduite mesure 100 m de long, a un diamètre intérieur de 200 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,02 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 6 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.

Q = 75 L/sΔz = 17 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 6

H = m

9.Écoulement à surface libre (Manning)Moyen

Un canal trapézoïdal en terre enherbée a une largeur au fond de 5,5 m et un fruit des berges de 1,5:1 (horizontal:vertical). L’eau s’écoule uniformément sur 0,6 m de profondeur. n de Manning = 0,03 et la pente du fond vaut S = 0,001. Trouvez le débit Q en m³/s.

b = 5,5 my = 0,6 mz = 1,5n = 0,03S = 0,001

Q = m³/s

10.Écoulement à surface libre (Manning)Difficile

Un collecteur en béton de diamètre intérieur 600 mm (n de Manning = 0,013) doit atteindre une vitesse d’autocurage de 0,9 m/s lorsqu’il coule tout juste plein. Trouvez la pente minimale S (en m/m).

D = 600 mmn = 0,013V = 0,9 m/s

S = m/m

3Solutions

1.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 19,62 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1·2 = 19,62 kN

Réponse

F = 19,62 kN

2.Poussée hydrostatique

Réponse: y_cp = 2,481 m

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·3,75 = 82,77 kN

Centre de poussée

La pression augmente avec la profondeur, donc la résultante agit sous le centre de gravité.

I_c = b·H³/12 = 1,5·2,5³/12 = 1,953 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,25 + 1,953/(2,25·3,75) = 2,481 m

Réponse

y_cp = 2,481 m

3.Continuité et Bernoulli

Réponse: p₁ = 138,6 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Vitesses

v₁ = Q/A₁ = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,02/0,001963 = 10,19 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 90 + ½·1000·(10,19² − 2,546²)/1000 = 90 + 48,63 = 138,6 kPa

Réponse

p₁ = 138,6 kPa

4.Continuité et Bernoulli

Réponse: Q = 9,923 L/s

Bernoulli de la surface au jet

v = √(2·(170000/1000 + 9,81·3,5)) = 20,22 m/s

Débit

Q = A·v = 0,0004909·20,22 = 0,009923 m³/s = 9,923 L/s

Réponse

Q = 9,923 L/s

5.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: h_f = 2,61 m

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières h_m = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = h_f + h_m, perte de sortie K = 1 comprise.

Hauteur cinétique

V²/(2g) = 1,6²/(2·9,81) = 0,1305 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(100/0,15)·1,6²/(2·9,81) = 2,61 m

Réponse

h_f = 2,61 m

6.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: Δz = 6,853 m

Vitesse

V = Q/A = 0,15/0,04909 = 3,056 m/s

V²/(2g) = 0,4759 m

Coefficients de perte de charge

f·L/D = 0,025·100/0,25 = 10

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

Perte de charge totale

h_f = 10·0,4759 = 4,759 m

h_m = 4,4·0,4759 = 2,094 m

Δz = h_f + h_m = 6,853 m

Réponse

Δz = 6,853 m

7.Pompes et puissance de pompage

Réponse: P_shaft = 8,72 kW

Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : P_shaft = P_h/η_pump, et le moteur absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.

Puissance hydraulique

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·16 = 6,278 kW

Puissance sur l’arbre

P_shaft = P_h/η = 6,278/0,72 = 8,72 kW

Réponse

P_shaft = 8,72 kW

8.Pompes et puissance de pompage

Réponse: H = 21,65 m

Vitesse

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Pertes de charge

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10 + 6)·0,2905 = 4,648 m

Hauteur manométrique de la pompe

Les deux surfaces sont à l’air libre et pratiquement au repos ; les termes de pression et de vitesse disparaissent donc.

H = Δz + h_L = 17 + 4,648 = 21,65 m

Réponse

H = 21,65 m

9.Écoulement à surface libre (Manning)

Réponse: Q = 2,554 m³/s

Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.

Géométrie

A = (b + z·y)·y = (5,5 + 1,5·0,6)·0,6 = 3,84 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5,5 + 2·0,6·√(1 + 1,5²) = 7,663 m

R = A/P = 0,5011 m

Vitesse

V = (1/0,03)·0,5011^2/3·0,001^1/2 = 0,665 m/s

Débit

Q = A·V = 3,84·0,665 = 2,554 m³/s

Réponse

Q = 2,554 m³/s

10.Écoulement à surface libre (Manning)

Réponse: S = 0,001718 m/m

Rayon hydraulique

R = D/4 = 0,6/4 = 0,15 m

Résoudre Manning pour S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,9/0,2823)² = 0,001718

Réponse

S = 0,001718

Cela correspond à une pente de 1,718 m par kilomètre.

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