Poussée hydrostatique
- Pression à une profondeur
- p = ρgh
- Force sur une paroi verticale
- F = ρg·hc·A
- Centre de poussée
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectangle
- Ic = bH³/12
Hydraulique : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Continuité et Bernoulli
- Continuité
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Débit
- Q = A·v
- Aire du disque
- A = πd²/4
Frottement en conduite et pertes de charge
- Nombre de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régime d’écoulement
- laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
- Vitesse moyenne
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pertes de charge singulières
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valeurs typiques de K
- entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
- Chute de pression
- Δp = ρ·g·hf
- Deux réservoirs à l’air libre
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sortie libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompes et puissance de pompage
- Puissance hydraulique
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Puissance sur l’arbre
- Pshaft = Ph/ηpump
- Puissance électrique
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Hauteur manométrique de la pompe
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pertes du réseau
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Écoulement à surface libre (Manning)
- Formule de Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Débit
- Q = A·V
- Rayon hydraulique
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rectangle
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapèze (fruit des berges z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Conduite circulaire, pleine ou à moitié pleine
- R = D/4
- Pente nécessaire
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Exercices
1.Poussée hydrostatiqueMoyen
Une vanne rectangulaire verticale de 3 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 3 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
d = 3 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Poussée hydrostatiqueDifficile
Une vanne rectangulaire verticale de 1,5 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de huile, avec son bord supérieur à 2,5 m sous la surface. Trouvez la profondeur ycp du centre de poussée sous la surface.
d = 2,5 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuité et BernoulliMoyen
L’eau circule dans une conduite horizontale qui se rétrécit de 200 mm à 75 mm. Dans la partie large, la pression vaut 270 kPa et la vitesse 1,5 m/s. En négligeant les pertes, trouvez la pression p2 dans la partie étroite.
d1 = 200 mmd2 = 75 mmp1 = 270 kPav1 = 1,5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuité et BernoulliDifficile
Un venturimètre horizontal (entrée 150 mm, col 100 mm) est parcouru par de l’eau. Un manomètre différentiel en U à mercure relié entre l’entrée et le col indique une dénivellation de 160 mm. Le coefficient de débit vaut 0,95. Trouvez le débit Q. Prenez ρ = 1000 kg/m³ pour l’eau, 13 600 kg/m³ pour le mercure et g = 9,81 m/s².
d1 = 150 mmd2 = 100 mmΔh = 160 mmCd = 0,95ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen
De l’eau s’écoule à une vitesse moyenne de 1,2 m/s dans une conduite de 500 m de long et de diamètre intérieur 75 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,02 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement hf.
V = 1,2 m/sL = 500 mD = 75 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile
Une conduite de 200 m de long et de diamètre intérieur 200 mm (coefficient de frottement de Darcy f = 0,025) part d’un réservoir à l’air libre et débouche à l’air libre en jet. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 4 coudes (K = 0,3 chacun) et une vanne (K = 2). Prenez g = 9,81 m/s². De combien H la surface du réservoir doit-elle être au-dessus de la sortie de la conduite pour un débit de 50 L/s ?
Q = 50 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0,025Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 2
H = m
7.Pompes et puissance de pompageMoyen
Lors d’un essai, une pompe débite 80 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 40 m tandis que son arbre absorbe 48,3 kW. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le rendement de la pompe η en pourcentage.
Q = 80 L/sH = 40 mPshaft = 48,3 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompes et puissance de pompageDifficile
Une pompe refoule 20 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 28 m plus haut. La conduite mesure 300 m de long, a un diamètre intérieur de 100 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,02 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 8 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le rendement de la pompe est de 78 %. Trouvez la puissance sur l’arbre Pshaft en kW.
Q = 20 L/sΔz = 28 mL = 300 mD = 100 mmf = 0,02ΣK = 8η = 78%
Pshaft = kW
9.Écoulement à surface libre (Manning)Moyen
Un canal rectangulaire en terre propre mesure 4,5 m de large. L’eau s’écoule uniformément sur 1,4 m de profondeur. n de Manning = 0,022 et la pente du fond vaut S = 0,004. Trouvez le débit Q en m³/s.
b = 4,5 my = 1,4 mn = 0,022S = 0,004
Q = m³/s
10.Écoulement à surface libre (Manning)Difficile
Un canal trapézoïdal en terre propre de largeur au fond 3 m et de fruit des berges 3:1 (horizontal:vertical) doit transporter 21 m³/s en écoulement uniforme à une profondeur de 1,5 m. n de Manning = 0,022. Trouvez la pente du fond nécessaire S (en m/m).
Q = 21 m³/sb = 3 my = 1,5 mz = 3n = 0,022
S = m/m
3Solutions
1.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 235,4 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4·6 = 235,4 kN
Réponse
F = 235,4 kN
2.Poussée hydrostatique
Réponse: ycp = 3,028 m
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m
A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·3·1,5 = 38,85 kN
Centre de poussée
La pression augmente avec la profondeur, donc la résultante agit sous le centre de gravité.
Ic = b·H³/12 = 1,5·1³/12 = 0,125 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3 + 0,125/(3·1,5) = 3,028 m
Réponse
ycp = 3,028 m
3.Continuité et Bernoulli
Réponse: p2 = 214,2 kPa
Continuité et Bernoulli : pour un fluide incompressible, le débit est le même dans toutes les sections, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Le long d’une ligne de courant sans pertes, p + ½ρv² + ρgz est constant, donc là où le fluide va plus vite ou plus haut, sa pression est plus faible.
Continuité et Bernoulli
Travaillez en Pa, puis divisez par 1000 pour obtenir des kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,5·(200/75)² = 10,67 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,5² − 10,67²)/1000 = −55,76 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 270 + (−55,76) = 214,2 kPa
Réponse
p2 = 214,2 kPa
4.Continuité et Bernoulli
Réponse: Q = 52,38 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Différence de pression d’après le manomètre
Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,16 = 19777 Pa
Vitesse au col
La continuité et Bernoulli donnent ensemble la vitesse idéale au col.
β = 100/150 = 0,6667
v2 = √(2·19777/(1000·(1 − 0,1975))) = 7,021 m/s
Débit réel
Q = Cd·A2·v2 = 0,95·0,007854·7,021 = 0,05238 m³/s = 52,38 L/s
Réponse
Q = 52,38 L/s
5.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: hf = 9,786 m
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Hauteur cinétique
V²/(2g) = 1,2²/(2·9,81) = 0,07339 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(500/0,075)·1,2²/(2·9,81) = 9,786 m
Réponse
hf = 9,786 m
6.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: H = 3,834 m
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Vitesse
V = Q/A = 0,05/0,03142 = 1,592 m/s
V²/(2g) = 0,1291 m
Coefficients de perte de charge
f·L/D = 0,025·200/0,2 = 25
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 = 3,7
Équation de l’énergie
Le jet de sortie emporte encore sa hauteur cinétique ; ce n’est pas une perte, mais elle doit être fournie.
H = (1 + 25 + 3,7)·0,1291 = 3,834 m
Réponse
H = 3,834 m
7.Pompes et puissance de pompage
Réponse: η = 64,99 %
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Puissance hydraulique
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·40 = 31,39 kW
Rendement
η = Ph/Pshaft = 31,39/48,3 = 64,99%
Réponse
η = 64,99%
8.Pompes et puissance de pompage
Réponse: Pshaft = 12,7 kW
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Vitesse
V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m
Pertes de charge
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (60 + 8)·0,3305 = 22,47 m
Hauteur manométrique de la pompe
H = Δz + hL = 28 + 22,47 = 50,47 m
Puissance sur l’arbre
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,02·50,47/0,78 = 12,7 kW
Réponse
Pshaft = 12,7 kW
9.Écoulement à surface libre (Manning)
Réponse: Q = 16,42 m³/s
Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R2/3·S1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.
Géométrie
A = b·y = 4,5·1,4 = 6,3 m²
P = b + 2y = 4,5 + 2·1,4 = 7,3 m
R = A/P = 0,863 m
Vitesse
V = (1/0,022)·0,8632/3·0,0041/2 = 2,606 m/s
Débit
Q = A·V = 6,3·2,606 = 16,42 m³/s
Réponse
Q = 16,42 m³/s
10.Écoulement à surface libre (Manning)
Réponse: S = 0,001938 m/m
Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R2/3·S1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.
Géométrie
A = (b + z·y)·y = (3 + 3·1,5)·1,5 = 11,25 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·1,5·√(1 + 3²) = 12,49 m
R = A/P = 0,9009 m
Résoudre Manning pour S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,022·21/(11,25·0,9328) = 0,04402
S = 0,04402² = 0,001938
Réponse
S = 0,001938
Cela correspond à une pente de 1,938 m par kilomètre.
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