Hydraulique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Poussée hydrostatique

Pression à une profondeur: p = ρgh
Force sur une paroi verticale: F = ρg·h_c·A
Centre de poussée: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectangle: I_c = bH³/12

Continuité et Bernoulli

Continuité: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Débit: Q = A·v
Aire du disque: A = πd²/4

Frottement en conduite et pertes de charge

Nombre de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régime d’écoulement: laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
Vitesse moyenne: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pertes de charge singulières: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valeurs typiques de K: entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
Chute de pression: Δp = ρ·g·h_f
Deux réservoirs à l’air libre: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sortie libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompes et puissance de pompage

Puissance hydraulique: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Puissance sur l’arbre: P_shaft = P_h/η_pump
Puissance électrique: P_el = P_shaft/η_motor
Hauteur manométrique de la pompe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pertes du réseau: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Écoulement à surface libre (Manning)

Formule de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Débit: Q = A·V
Rayon hydraulique: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rectangle: A = b·y, P = b + 2y
Trapèze (fruit des berges z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Conduite circulaire, pleine ou à moitié pleine: R = D/4
Pente nécessaire: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercices

1.Poussée hydrostatiqueMoyen

Une vanne rectangulaire verticale de 1,5 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 1,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 1,5 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Poussée hydrostatiqueDifficile

Une vanne rectangulaire verticale de 3 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 0,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 0,5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuité et BernoulliMoyen

L’eau circule dans une conduite horizontale qui se rétrécit de 100 mm à 75 mm. Dans la partie large, la pression vaut 390 kPa et la vitesse 1,25 m/s. En négligeant les pertes, trouvez la pression p₂ dans la partie étroite.

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 390 kPav₁ = 1,25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuité et BernoulliDifficile

La buse d’une fontaine est dirigée verticalement vers le haut. Juste sous la buse, la conduite d’alimentation a un diamètre de 100 mm et une pression relative de 130 kPa. Le diamètre de sortie de la buse est de 40 mm et la différence de hauteur à travers la buse est négligeable. En négligeant les pertes et la résistance de l’air, trouvez la hauteur H à laquelle le jet s’élève au-dessus de la buse. Prenez g = 9,81 m/s².

d₁ = 100 mmp₁ = 130 kPa (relative)d₂ = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen

De l’eau s’écoule avec un débit de 150 L/s dans une conduite de 1000 m de long et de diamètre intérieur 250 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,028 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement h_f.

Q = 150 L/sL = 1000 mD = 250 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile

Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 300 m de long, de diamètre intérieur 300 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,015. La surface de l’eau du réservoir supérieur est 19 m plus haut que celle du réservoir inférieur. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 2 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 5) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le débit Q en L/s.

Δz = 19 mL = 300 mD = 300 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Pompes et puissance de pompageMoyen

Une pompe de rendement 65 % débite 30 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 64 m. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance sur l’arbre P_shaft nécessaire, en kW.

Q = 30 L/sH = 64 mη = 65%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pompes et puissance de pompageDifficile

Une pompe refoule 80 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 23 m plus haut. La conduite mesure 100 m de long, a un diamètre intérieur de 200 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,02 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 8 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.

Q = 80 L/sΔz = 23 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 8

H = m

9.Écoulement à surface libre (Manning)Moyen

Un collecteur d’eaux pluviales en béton de diamètre intérieur 600 mm coule tout juste plein (en écoulement à surface libre, pas en charge). n de Manning = 0,013 et la pente vaut S = 0,0015. Trouvez le débit Q en m³/s.

D = 600 mmn = 0,013S = 0,0015

Q = m³/s

10.Écoulement à surface libre (Manning)Difficile

Un canal rectangulaire en terre enherbée de 6 m de large doit transporter 11 m³/s en écoulement uniforme à une profondeur de 1,7 m. n de Manning = 0,03. Trouvez la pente du fond nécessaire S (en m/m).

Q = 11 m³/sb = 6 my = 1,7 mn = 0,03

S = m/m

3Solutions

1.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 101,2 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,75·3,75 = 101,2 kN

Réponse

F = 101,2 kN

2.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 29,43 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1·3 = 29,43 kN

Réponse

F = 29,43 kN

3.Continuité et Bernoulli

Réponse: p₂ = 388,3 kPa

Continuité et Bernoulli : pour un fluide incompressible, le débit est le même dans toutes les sections, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Le long d’une ligne de courant sans pertes, p + ½ρv² + ρgz est constant, donc là où le fluide va plus vite ou plus haut, sa pression est plus faible.

Continuité et Bernoulli

Travaillez en Pa, puis divisez par 1000 pour obtenir des kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,25·(100/75)² = 2,222 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,25² − 2,222²)/1000 = −1,688 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 390 + (−1,688) = 388,3 kPa

Réponse

p₂ = 388,3 kPa

4.Continuité et Bernoulli

Réponse: H = 13,6 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Vitesse de sortie

β = 40/100 = 0,4

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·130000/(1000·0,9744)) = 16,33 m/s

Hauteur du jet

Bernoulli le long du jet : au sommet, la vitesse est nulle et la pression est de nouveau atmosphérique.

H = v₂²/(2g) = 16,33²/(2·9,81) = 13,6 m

Réponse

H = 13,6 m

5.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: h_f = 53,3 m

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières h_m = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = h_f + h_m, perte de sortie K = 1 comprise.

Vitesse moyenne

A = π·0,25²/4 = 0,04909 m²

V = Q/A = 0,15/0,04909 = 3,056 m/s

Hauteur cinétique

V²/(2g) = 3,056²/(2·9,81) = 0,4759 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(1000/0,25)·3,056²/(2·9,81) = 53,3 m

Réponse

h_f = 53,3 m

6.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: Q = 290,3 L/s

Coefficients de perte de charge

f·L/D = 0,015·300/0,3 = 15

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1

Équation de l’énergie

Les deux surfaces sont à l’air libre et pratiquement au repos ; tout Δz est donc perdu dans la conduite.

19 = (15 + 7,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·19/22,1) = 4,107 m/s

Débit

Q = V·π·D²/4 = 4,107·0,07069 = 0,2903 m³/s = 290,3 L/s

Réponse

Q = 290,3 L/s

7.Pompes et puissance de pompage

Réponse: P_shaft = 28,98 kW

Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : P_shaft = P_h/η_pump, et le moteur absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.

Puissance hydraulique

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·64 = 18,84 kW

Puissance sur l’arbre

P_shaft = P_h/η = 18,84/0,65 = 28,98 kW

Réponse

P_shaft = 28,98 kW

8.Pompes et puissance de pompage

Réponse: H = 28,95 m

Vitesse

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Pertes de charge

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10 + 8)·0,3305 = 5,949 m

Hauteur manométrique de la pompe

Les deux surfaces sont à l’air libre et pratiquement au repos ; les termes de pression et de vitesse disparaissent donc.

H = Δz + h_L = 23 + 5,949 = 28,95 m

Réponse

H = 28,95 m

9.Écoulement à surface libre (Manning)

Réponse: Q = 0,2378 m³/s

Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.

Géométrie

A = 0,2827 m², R = D/4 = 0,15 m

Vitesse

V = (1/0,013)·0,15^2/3·0,0015^1/2 = 0,8411 m/s

Débit

Q = A·V = 0,2827·0,8411 = 0,2378 m³/s

Réponse

Q = 0,2378 m³/s

10.Écoulement à surface libre (Manning)

Réponse: S = 0,0009387 m/m

Géométrie

A = b·y = 6·1,7 = 10,2 m²

P = b + 2y = 6 + 2·1,7 = 9,4 m

R = A/P = 1,085 m

Résoudre Manning pour S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·11/(10,2·1,056) = 0,03064

S = 0,03064² = 0,0009387

Réponse

S = 0,0009387

Cela correspond à une pente de 0,9387 m par kilomètre.

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