Hydraulique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Poussée hydrostatique

Pression à une profondeur: p = ρgh
Force sur une paroi verticale: F = ρg·h_c·A
Centre de poussée: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectangle: I_c = bH³/12

Continuité et Bernoulli

Continuité: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Débit: Q = A·v
Aire du disque: A = πd²/4

Frottement en conduite et pertes de charge

Nombre de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régime d’écoulement: laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
Vitesse moyenne: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pertes de charge singulières: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valeurs typiques de K: entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
Chute de pression: Δp = ρ·g·h_f
Deux réservoirs à l’air libre: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sortie libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompes et puissance de pompage

Puissance hydraulique: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Puissance sur l’arbre: P_shaft = P_h/η_pump
Puissance électrique: P_el = P_shaft/η_motor
Hauteur manométrique de la pompe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pertes du réseau: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Écoulement à surface libre (Manning)

Formule de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Débit: Q = A·V
Rayon hydraulique: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rectangle: A = b·y, P = b + 2y
Trapèze (fruit des berges z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Conduite circulaire, pleine ou à moitié pleine: R = D/4
Pente nécessaire: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercices

1.Poussée hydrostatiqueMoyen

Une vanne rectangulaire verticale de 1 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 3 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 3 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Poussée hydrostatiqueDifficile

Une vanne rectangulaire verticale de 1,5 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de glycérine, avec son bord supérieur à 1,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 1,5 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuité et BernoulliMoyen

Un tube de Pitot statique dans une conduite d’eau indique une différence de 26 kPa entre la pression d’arrêt et la pression statique. Trouvez la vitesse de l’eau v à l’extrémité du tube.

p₀ − p = 26 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

4.Continuité et BernoulliDifficile

Un tuyau de 20 mm de diamètre intérieur siphonne l’eau d’un réservoir ouvert. Le point le plus haut C du tuyau est à 2 m au-dessus de la surface de l’eau, et la sortie (à l’air libre) est à 5 m sous la surface de l’eau. Négligez les pertes et prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la pression absolue p_C au point C. La pression atmosphérique vaut 101,3 kPa.

d = 20 mmz_C = +2 mz₂ = −5 mg = 9,81 m/s²p_atm = 101,3 kPa

p_C = kPa

5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen

De l’eau s’écoule à une vitesse moyenne de 1,5 m/s dans une conduite de 800 m de long et de diamètre intérieur 75 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,025 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement h_f.

V = 1,5 m/sL = 800 mD = 75 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile

Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 100 m de long, de diamètre intérieur 300 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,025. La surface de l’eau du réservoir supérieur est 29 m plus haut que celle du réservoir inférieur. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 2 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 10) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le débit Q en L/s.

Δz = 29 mL = 100 mD = 300 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Pompes et puissance de pompageMoyen

Une pompe de rendement 65 % débite 15 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 80 m. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance sur l’arbre P_shaft nécessaire, en kW.

Q = 15 L/sH = 80 mη = 65%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pompes et puissance de pompageDifficile

Une pompe refoule 50 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 10 m plus haut. La conduite mesure 600 m de long, a un diamètre intérieur de 200 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,015 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 8 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.

Q = 50 L/sΔz = 10 mL = 600 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 8

H = m

9.Écoulement à surface libre (Manning)Moyen

Un canal trapézoïdal en béton lissé a une largeur au fond de 3,5 m et un fruit des berges de 2:1 (horizontal:vertical). L’eau s’écoule uniformément sur 1,1 m de profondeur. n de Manning = 0,012 et la pente du fond vaut S = 0,0005. Trouvez le débit Q en m³/s.

b = 3,5 my = 1,1 mz = 2n = 0,012S = 0,0005

Q = m³/s

10.Écoulement à surface libre (Manning)Difficile

Un canal trapézoïdal en terre enherbée de largeur au fond 1 m et de fruit des berges 1,5:1 (horizontal:vertical) doit transporter 3,5 m³/s en écoulement uniforme à une profondeur de 1 m. n de Manning = 0,03. Trouvez la pente du fond nécessaire S (en m/m).

Q = 3,5 m³/sb = 1 my = 1 mz = 1,5n = 0,03

S = m/m

3Solutions

1.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 55,18 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·1,5 = 55,18 kN

Réponse

F = 55,18 kN

2.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 166,9 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·3·4,5 = 166,9 kN

Réponse

F = 166,9 kN

3.Continuité et Bernoulli

Réponse: v = 7,211 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli jusqu’au point d’arrêt

L’écoulement s’arrête à l’extrémité du tube, donc son énergie cinétique apparaît sous forme de surpression.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·26000/1000) = 7,211 m/s

Réponse

v = 7,211 m/s

4.Continuité et Bernoulli

Réponse: p_C = 32,63 kPa

Vitesse dans le tuyau

La surface et la sortie sont toutes deux à l’air libre, donc les termes de pression s’annulent.

v = √(2g·5) = √(2·9,81·5) = 9,905 m/s

Bernoulli de la surface à C

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101,3 − 1000·(9,905²/2 + 9,81·2)/1000 = 101,3 − 68,67 = 32,63 kPa

Réponse

p_C = 32,63 kPa

Si cette pression descend jusqu’à la pression de vapeur de l’eau, le siphon cesse de fonctionner.

5.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: h_f = 30,58 m

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières h_m = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = h_f + h_m, perte de sortie K = 1 comprise.

Hauteur cinétique

V²/(2g) = 1,5²/(2·9,81) = 0,1147 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(800/0,075)·1,5²/(2·9,81) = 30,58 m

Réponse

h_f = 30,58 m

6.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: Q = 373 L/s

Coefficients de perte de charge

f·L/D = 0,025·100/0,3 = 8,333

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1

Équation de l’énergie

Les deux surfaces sont à l’air libre et pratiquement au repos ; tout Δz est donc perdu dans la conduite.

29 = (8,333 + 12,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·29/20,43) = 5,277 m/s

Débit

Q = V·π·D²/4 = 5,277·0,07069 = 0,373 m³/s = 373 L/s

Réponse

Q = 373 L/s

7.Pompes et puissance de pompage

Réponse: P_shaft = 18,11 kW

Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : P_shaft = P_h/η_pump, et le moteur absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.

Puissance hydraulique

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·80 = 11,77 kW

Puissance sur l’arbre

P_shaft = P_h/η = 11,77/0,65 = 18,11 kW

Réponse

P_shaft = 18,11 kW

8.Pompes et puissance de pompage

Réponse: H = 16,84 m

Vitesse

V = Q/A = 0,05/0,03142 = 1,592 m/s

V²/(2g) = 0,1291 m

Pertes de charge

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (45 + 8)·0,1291 = 6,843 m

Hauteur manométrique de la pompe

Les deux surfaces sont à l’air libre et pratiquement au repos ; les termes de pression et de vitesse disparaissent donc.

H = Δz + h_L = 10 + 6,843 = 16,84 m

Réponse

H = 16,84 m

9.Écoulement à surface libre (Manning)

Réponse: Q = 9,599 m³/s

Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.

Géométrie

A = (b + z·y)·y = (3,5 + 2·1,1)·1,1 = 6,27 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·1,1·√(1 + 2²) = 8,419 m

R = A/P = 0,7447 m

Vitesse

V = (1/0,012)·0,7447^2/3·0,0005^1/2 = 1,531 m/s

Débit

Q = A·V = 6,27·1,531 = 9,599 m³/s

Réponse

Q = 9,599 m³/s

10.Écoulement à surface libre (Manning)

Réponse: S = 0,003984 m/m

Géométrie

A = (b + z·y)·y = (1 + 1,5·1)·1 = 2,5 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·1·√(1 + 1,5²) = 4,606 m

R = A/P = 0,5428 m

Résoudre Manning pour S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·3,5/(2,5·0,6654) = 0,06312

S = 0,06312² = 0,003984

Réponse

S = 0,003984

Cela correspond à une pente de 3,984 m par kilomètre.

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