Poussée hydrostatique
- Pression à une profondeur
- p = ρgh
- Force sur une paroi verticale
- F = ρg·hc·A
- Centre de poussée
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectangle
- Ic = bH³/12
Hydraulique : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Continuité et Bernoulli
- Continuité
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Débit
- Q = A·v
- Aire du disque
- A = πd²/4
Frottement en conduite et pertes de charge
- Nombre de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régime d’écoulement
- laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
- Vitesse moyenne
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pertes de charge singulières
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valeurs typiques de K
- entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
- Chute de pression
- Δp = ρ·g·hf
- Deux réservoirs à l’air libre
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sortie libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompes et puissance de pompage
- Puissance hydraulique
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Puissance sur l’arbre
- Pshaft = Ph/ηpump
- Puissance électrique
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Hauteur manométrique de la pompe
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pertes du réseau
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Écoulement à surface libre (Manning)
- Formule de Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Débit
- Q = A·V
- Rayon hydraulique
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rectangle
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapèze (fruit des berges z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Conduite circulaire, pleine ou à moitié pleine
- R = D/4
- Pente nécessaire
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Exercices
1.Poussée hydrostatiqueMoyen
Une vanne rectangulaire verticale de 1,5 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 3 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
d = 3 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Poussée hydrostatiqueDifficile
Une vanne rectangulaire verticale de 2 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de huile, avec son bord supérieur à 1 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
d = 1 mH = 2 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuité et BernoulliMoyen
De l’eau s’écoule dans un venturimètre horizontal de diamètre d’entrée 80 mm et de diamètre au col 40 mm. La pression à l’entrée dépasse de 29 kPa celle au col. En négligeant les pertes, trouvez le débit Q.
d1 = 80 mmd2 = 40 mmp1 − p2 = 29 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Continuité et BernoulliDifficile
La buse d’une fontaine est dirigée verticalement vers le haut. Juste sous la buse, la conduite d’alimentation a un diamètre de 50 mm et une pression relative de 110 kPa. Le diamètre de sortie de la buse est de 20 mm et la différence de hauteur à travers la buse est négligeable. En négligeant les pertes et la résistance de l’air, trouvez la hauteur H à laquelle le jet s’élève au-dessus de la buse. Prenez g = 9,81 m/s².
d1 = 50 mmp1 = 110 kPa (relative)d2 = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
H = m
5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen
De l’eau s’écoule avec un débit de 40 L/s dans une conduite de 50 m de long et de diamètre intérieur 300 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,022 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement hf.
Q = 40 L/sL = 50 mD = 300 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile
Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 200 m de long, de diamètre intérieur 250 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,018. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 2 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 10) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Quelle différence de niveau d’eau Δz entre les réservoirs donne un débit de 80 L/s ?
Q = 80 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pompes et puissance de pompageMoyen
Une pompe de rendement 75 % débite 150 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 24 m. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance sur l’arbre Pshaft nécessaire, en kW.
Q = 150 L/sH = 24 mη = 75%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pompes et puissance de pompageDifficile
Une pompe refoule 50 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 6 m plus haut. La conduite mesure 300 m de long, a un diamètre intérieur de 150 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,015 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 6 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.
Q = 50 L/sΔz = 6 mL = 300 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 6
H = m
9.Écoulement à surface libre (Manning)Moyen
Un canal rectangulaire en terre enherbée mesure 3,5 m de large. L’eau s’écoule uniformément sur 2 m de profondeur. n de Manning = 0,03 et la pente du fond vaut S = 0,004. Trouvez le débit Q en m³/s.
b = 3,5 my = 2 mn = 0,03S = 0,004
Q = m³/s
10.Écoulement à surface libre (Manning)Difficile
Un canal trapézoïdal en béton lissé de largeur au fond 1 m et de fruit des berges 3:1 (horizontal:vertical) doit transporter 15 m³/s en écoulement uniforme à une profondeur de 1,2 m. n de Manning = 0,012. Trouvez la pente du fond nécessaire S (en m/m).
Q = 15 m³/sb = 1 my = 1,2 mz = 3n = 0,012
S = m/m
3Solutions
1.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 156,3 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m
A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4,25·3,75 = 156,3 kN
Réponse
F = 156,3 kN
2.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 69,06 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·2·4 = 69,06 kN
Réponse
F = 69,06 kN
3.Continuité et Bernoulli
Réponse: Q = 9,884 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Continuité
v1 = v2·(40/80)² = 0,25·v2
Bernoulli entre l’entrée et le col
La conduite est horizontale, donc seules la pression et la vitesse varient.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·29000/(1000·(1 − 0,0625))) = 7,866 m/s
v1 = 1,966 m/s
Débit
Q = A2·v2 = 0,001257·7,866 = 0,009884 m³/s = 9,884 L/s
Réponse
Q = 9,884 L/s
4.Continuité et Bernoulli
Réponse: H = 11,51 m
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Vitesse de sortie
β = 20/50 = 0,4
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·110000/(1000·0,9744)) = 15,03 m/s
Hauteur du jet
Bernoulli le long du jet : au sommet, la vitesse est nulle et la pression est de nouveau atmosphérique.
H = v2²/(2g) = 15,03²/(2·9,81) = 11,51 m
Réponse
H = 11,51 m
5.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: hf = 0,05984 m
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Vitesse moyenne
A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²
V = Q/A = 0,04/0,07069 = 0,5659 m/s
Hauteur cinétique
V²/(2g) = 0,5659²/(2·9,81) = 0,01632 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(50/0,3)·0,5659²/(2·9,81) = 0,05984 m
Réponse
hf = 0,05984 m
6.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: Δz = 3,587 m
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Vitesse
V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s
V²/(2g) = 0,1354 m
Coefficients de perte de charge
f·L/D = 0,018·200/0,25 = 14,4
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1
Perte de charge totale
hf = 14,4·0,1354 = 1,949 m
hm = 12,1·0,1354 = 1,638 m
Δz = hf + hm = 3,587 m
Réponse
Δz = 3,587 m
7.Pompes et puissance de pompage
Réponse: Pshaft = 47,09 kW
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Puissance hydraulique
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·24 = 35,32 kW
Puissance sur l’arbre
Pshaft = Ph/η = 35,32/0,75 = 47,09 kW
Réponse
Pshaft = 47,09 kW
8.Pompes et puissance de pompage
Réponse: H = 20,69 m
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Vitesse
V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m
Pertes de charge
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 6)·0,408 = 14,69 m
Hauteur manométrique de la pompe
Les deux surfaces sont à l’air libre et pratiquement au repos ; les termes de pression et de vitesse disparaissent donc.
H = Δz + hL = 6 + 14,69 = 20,69 m
Réponse
H = 20,69 m
9.Écoulement à surface libre (Manning)
Réponse: Q = 14,09 m³/s
Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R2/3·S1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.
Géométrie
A = b·y = 3,5·2 = 7 m²
P = b + 2y = 3,5 + 2·2 = 7,5 m
R = A/P = 0,9333 m
Vitesse
V = (1/0,03)·0,93332/3·0,0041/2 = 2,013 m/s
Débit
Q = A·V = 7·2,013 = 14,09 m³/s
Réponse
Q = 14,09 m³/s
10.Écoulement à surface libre (Manning)
Réponse: S = 0,001917 m/m
Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R2/3·S1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.
Géométrie
A = (b + z·y)·y = (1 + 3·1,2)·1,2 = 5,52 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·1,2·√(1 + 3²) = 8,589 m
R = A/P = 0,6426 m
Résoudre Manning pour S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,012·15/(5,52·0,7447) = 0,04379
S = 0,04379² = 0,001917
Réponse
S = 0,001917
Cela correspond à une pente de 1,917 m par kilomètre.
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