Poussée hydrostatique
- Pression à une profondeur
- p = ρgh
- Force sur une paroi verticale
- F = ρg·hc·A
- Centre de poussée
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectangle
- Ic = bH³/12
Hydraulique : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Continuité et Bernoulli
- Continuité
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Débit
- Q = A·v
- Aire du disque
- A = πd²/4
Frottement en conduite et pertes de charge
- Nombre de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régime d’écoulement
- laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
- Vitesse moyenne
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pertes de charge singulières
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valeurs typiques de K
- entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
- Chute de pression
- Δp = ρ·g·hf
- Deux réservoirs à l’air libre
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sortie libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompes et puissance de pompage
- Puissance hydraulique
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Puissance sur l’arbre
- Pshaft = Ph/ηpump
- Puissance électrique
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Hauteur manométrique de la pompe
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pertes du réseau
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Écoulement à surface libre (Manning)
- Formule de Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Débit
- Q = A·V
- Rayon hydraulique
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rectangle
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapèze (fruit des berges z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Conduite circulaire, pleine ou à moitié pleine
- R = D/4
- Pente nécessaire
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Exercices
1.Poussée hydrostatiqueMoyen
Une vanne rectangulaire verticale de 1,5 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 2 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
d = 2 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Poussée hydrostatiqueDifficile
Une vanne rectangulaire verticale de 1 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau de mer, avec son bord supérieur à 2,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
d = 2,5 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuité et BernoulliMoyen
L’eau circule dans une conduite horizontale qui se rétrécit de 200 mm à 100 mm. Dans la partie large, la pression vaut 280 kPa et la vitesse 2,75 m/s. En négligeant les pertes, trouvez la pression p2 dans la partie étroite.
d1 = 200 mmd2 = 100 mmp1 = 280 kPav1 = 2,75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuité et BernoulliDifficile
Un tuyau de 20 mm de diamètre intérieur siphonne l’eau d’un réservoir ouvert. Le point le plus haut C du tuyau est à 1,5 m au-dessus de la surface de l’eau, et la sortie (à l’air libre) est à 4 m sous la surface de l’eau. Négligez les pertes et prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le débit Q.
d = 20 mmzC = +1,5 mz2 = −4 mg = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen
De l’eau (ρ = 1000 kg/m³) s’écoule à 3 m/s dans une conduite horizontale de 300 m de long et de diamètre intérieur 300 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,03 et g = 9,81 m/s². Trouvez la chute de pression Δp le long de la conduite, en kPa.
V = 3 m/sL = 300 mD = 300 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile
Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 150 m de long, de diamètre intérieur 250 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,022. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 2 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 0,2) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Quelle différence de niveau d’eau Δz entre les réservoirs donne un débit de 50 L/s ?
Q = 50 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 0,2Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pompes et puissance de pompageMoyen
Lors d’un essai, une pompe débite 15 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 40 m tandis que son arbre absorbe 7,4 kW. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le rendement de la pompe η en pourcentage.
Q = 15 L/sH = 40 mPshaft = 7,4 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompes et puissance de pompageDifficile
Une pompe refoule 120 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 8 m plus haut. La conduite mesure 150 m de long, a un diamètre intérieur de 250 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,02 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 5 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.
Q = 120 L/sΔz = 8 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,02ΣK = 5
H = m
9.Écoulement à surface libre (Manning)Moyen
Un canal trapézoïdal en gravier a une largeur au fond de 2 m et un fruit des berges de 2:1 (horizontal:vertical). L’eau s’écoule uniformément sur 2 m de profondeur. n de Manning = 0,025 et la pente du fond vaut S = 0,004. Trouvez le débit Q en m³/s.
b = 2 my = 2 mz = 2n = 0,025S = 0,004
Q = m³/s
10.Écoulement à surface libre (Manning)Difficile
Un canal rectangulaire en béton lissé de 1 m de large doit transporter 1,9 m³/s en écoulement uniforme à une profondeur de 0,9 m. n de Manning = 0,012. Trouvez la pente du fond nécessaire S (en m/m).
Q = 1,9 m³/sb = 1 my = 0,9 mn = 0,012
S = m/m
3Solutions
1.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 60,7 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m
A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,75·2,25 = 60,7 kN
Réponse
F = 60,7 kN
2.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 49,02 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m
A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·3,25·1,5 = 49,02 kN
Réponse
F = 49,02 kN
3.Continuité et Bernoulli
Réponse: p2 = 223,3 kPa
Continuité et Bernoulli : pour un fluide incompressible, le débit est le même dans toutes les sections, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Le long d’une ligne de courant sans pertes, p + ½ρv² + ρgz est constant, donc là où le fluide va plus vite ou plus haut, sa pression est plus faible.
Continuité et Bernoulli
Travaillez en Pa, puis divisez par 1000 pour obtenir des kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 2,75·(200/100)² = 11 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2,75² − 11²)/1000 = −56,72 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 280 + (−56,72) = 223,3 kPa
Réponse
p2 = 223,3 kPa
4.Continuité et Bernoulli
Réponse: Q = 2,783 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Vitesse dans le tuyau
La surface et la sortie sont toutes deux à l’air libre, donc les termes de pression s’annulent.
v = √(2g·4) = √(2·9,81·4) = 8,859 m/s
Débit
Q = A·v = 0,0003142·8,859 = 0,002783 m³/s = 2,783 L/s
Réponse
Q = 2,783 L/s
5.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: Δp = 135 kPa
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Perte de charge
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(300/0,3)·3²/(2·9,81) = 13,76 m
Chute de pression
La conduite est horizontale et la vitesse ne change pas ; l’équation de l’énergie se réduit donc à Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·13,76 = 135000 Pa = 135 kPa
Réponse
Δp = 135 kPa
6.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: Δz = 0,8197 m
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Vitesse
V = Q/A = 0,05/0,04909 = 1,019 m/s
V²/(2g) = 0,05288 m
Coefficients de perte de charge
f·L/D = 0,022·150/0,25 = 13,2
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,3
Perte de charge totale
hf = 13,2·0,05288 = 0,698 m
hm = 2,3·0,05288 = 0,1216 m
Δz = hf + hm = 0,8197 m
Réponse
Δz = 0,8197 m
7.Pompes et puissance de pompage
Réponse: η = 79,54 %
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Puissance hydraulique
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·40 = 5,886 kW
Rendement
η = Ph/Pshaft = 5,886/7,4 = 79,54%
Réponse
η = 79,54%
8.Pompes et puissance de pompage
Réponse: H = 13,18 m
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Vitesse
V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s
V²/(2g) = 0,3046 m
Pertes de charge
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12 + 5)·0,3046 = 5,178 m
Hauteur manométrique de la pompe
Les deux surfaces sont à l’air libre et pratiquement au repos ; les termes de pression et de vitesse disparaissent donc.
H = Δz + hL = 8 + 5,178 = 13,18 m
Réponse
H = 13,18 m
9.Écoulement à surface libre (Manning)
Réponse: Q = 32,28 m³/s
Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R2/3·S1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.
Géométrie
A = (b + z·y)·y = (2 + 2·2)·2 = 12 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·2·√(1 + 2²) = 10,94 m
R = A/P = 1,096 m
Vitesse
V = (1/0,025)·1,0962/3·0,0041/2 = 2,69 m/s
Débit
Q = A·V = 12·2,69 = 32,28 m³/s
Réponse
Q = 32,28 m³/s
10.Écoulement à surface libre (Manning)
Réponse: S = 0,002915 m/m
Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R2/3·S1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.
Géométrie
A = b·y = 1·0,9 = 0,9 m²
P = b + 2y = 1 + 2·0,9 = 2,8 m
R = A/P = 0,3214 m
Résoudre Manning pour S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,012·1,9/(0,9·0,4692) = 0,05399
S = 0,05399² = 0,002915
Réponse
S = 0,002915
Cela correspond à une pente de 2,915 m par kilomètre.
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