Hydraulique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Poussée hydrostatique

Pression à une profondeur: p = ρgh
Force sur une paroi verticale: F = ρg·h_c·A
Centre de poussée: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectangle: I_c = bH³/12

Continuité et Bernoulli

Continuité: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Débit: Q = A·v
Aire du disque: A = πd²/4

Frottement en conduite et pertes de charge

Nombre de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régime d’écoulement: laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
Vitesse moyenne: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pertes de charge singulières: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valeurs typiques de K: entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
Chute de pression: Δp = ρ·g·h_f
Deux réservoirs à l’air libre: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sortie libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompes et puissance de pompage

Puissance hydraulique: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Puissance sur l’arbre: P_shaft = P_h/η_pump
Puissance électrique: P_el = P_shaft/η_motor
Hauteur manométrique de la pompe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pertes du réseau: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Écoulement à surface libre (Manning)

Formule de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Débit: Q = A·V
Rayon hydraulique: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rectangle: A = b·y, P = b + 2y
Trapèze (fruit des berges z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Conduite circulaire, pleine ou à moitié pleine: R = D/4
Pente nécessaire: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercices

1.Poussée hydrostatiqueMoyen

Une vanne rectangulaire verticale de 1 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 4 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 4 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Poussée hydrostatiqueDifficile

Une vanne rectangulaire verticale de 3 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de glycérine, avec son bord supérieur à 1 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 1 mH = 2 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuité et BernoulliMoyen

De l’eau s’écoule à 17 L/s dans une conduite horizontale qui se rétrécit de 150 mm à 100 mm. La pression dans la partie étroite vaut 290 kPa. En négligeant les pertes, trouvez la pression p₁ dans la partie large.

Q = 17 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₂ = 290 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuité et BernoulliDifficile

Un réservoir d’eau fermé contient de l’air comprimé au-dessus de l’eau à une pression relative de 140 kPa. L’eau sort à l’air libre par un orifice de 40 mm de diamètre, situé 2 m sous la surface de l’eau. En négligeant les pertes, trouvez la vitesse du jet v. Prenez g = 9,81 m/s².

p_air = 140 kPa (relative)h = 2 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

v = m/s

5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen

De l’eau s’écoule avec un débit de 60 L/s dans une conduite de 500 m de long et de diamètre intérieur 250 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,028 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement h_f.

Q = 60 L/sL = 500 mD = 250 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile

Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 200 m de long, de diamètre intérieur 200 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,015. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 3 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 2) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Quelle différence de niveau d’eau Δz entre les réservoirs donne un débit de 50 L/s ?

Q = 50 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompes et puissance de pompageMoyen

Une pompe de rendement 65 % débite 10 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 58 m. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance sur l’arbre P_shaft nécessaire, en kW.

Q = 10 L/sH = 58 mη = 65%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pompes et puissance de pompageDifficile

Une pompe refoule 100 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 9 m plus haut. La conduite mesure 400 m de long, a un diamètre intérieur de 250 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,025 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 5 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le rendement de la pompe est de 75 %. Trouvez la puissance sur l’arbre P_shaft en kW.

Q = 100 L/sΔz = 9 mL = 400 mD = 250 mmf = 0,025ΣK = 5η = 75%

P_shaft = kW

9.Écoulement à surface libre (Manning)Moyen

Un canal trapézoïdal en béton lissé a une largeur au fond de 5,5 m et un fruit des berges de 1:1 (horizontal:vertical). L’eau s’écoule uniformément sur 1,9 m de profondeur. n de Manning = 0,012 et la pente du fond vaut S = 0,0008. Trouvez le débit Q en m³/s.

b = 5,5 my = 1,9 mz = 1n = 0,012S = 0,0008

Q = m³/s

10.Écoulement à surface libre (Manning)Difficile

Un canal rectangulaire en terre propre de 6 m de large doit transporter 17 m³/s en écoulement uniforme à une profondeur de 1,8 m. n de Manning = 0,022. Trouvez la pente du fond nécessaire S (en m/m).

Q = 17 m³/sb = 6 my = 1,8 mn = 0,022

S = m/m

3Solutions

1.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 44,15 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·1 = 44,15 kN

Réponse

F = 44,15 kN

2.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 148,3 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·2·6 = 148,3 kN

Réponse

F = 148,3 kN

3.Continuité et Bernoulli

Réponse: p₁ = 291,9 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Vitesses

v₁ = Q/A₁ = 0,017/0,01767 = 0,962 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,017/0,007854 = 2,165 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 290 + ½·1000·(2,165² − 0,962²)/1000 = 290 + 1,88 = 291,9 kPa

Réponse

p₁ = 291,9 kPa

4.Continuité et Bernoulli

Réponse: v = 17,87 m/s

Bernoulli de la surface au jet

v = √(2·(140000/1000 + 9,81·2)) = 17,87 m/s

Réponse

v = 17,87 m/s

5.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: h_f = 4,264 m

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières h_m = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = h_f + h_m, perte de sortie K = 1 comprise.

Vitesse moyenne

A = π·0,25²/4 = 0,04909 m²

V = Q/A = 0,06/0,04909 = 1,222 m/s

Hauteur cinétique

V²/(2g) = 1,222²/(2·9,81) = 0,07615 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(500/0,25)·1,222²/(2·9,81) = 4,264 m

Réponse

h_f = 4,264 m

6.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: Δz = 2,505 m

Vitesse

V = Q/A = 0,05/0,03142 = 1,592 m/s

V²/(2g) = 0,1291 m

Coefficients de perte de charge

f·L/D = 0,015·200/0,2 = 15

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

Perte de charge totale

h_f = 15·0,1291 = 1,937 m

h_m = 4,4·0,1291 = 0,5681 m

Δz = h_f + h_m = 2,505 m

Réponse

Δz = 2,505 m

7.Pompes et puissance de pompage

Réponse: P_shaft = 8,754 kW

Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : P_shaft = P_h/η_pump, et le moteur absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.

Puissance hydraulique

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·58 = 5,69 kW

Puissance sur l’arbre

P_shaft = P_h/η = 5,69/0,65 = 8,754 kW

Réponse

P_shaft = 8,754 kW

8.Pompes et puissance de pompage

Réponse: P_shaft = 24,22 kW

Vitesse

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Pertes de charge

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (40 + 5)·0,2115 = 9,519 m

Hauteur manométrique de la pompe

H = Δz + h_L = 9 + 9,519 = 18,52 m

Puissance sur l’arbre

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,1·18,52/0,75 = 24,22 kW

Réponse

P_shaft = 24,22 kW

9.Écoulement à surface libre (Manning)

Réponse: Q = 39,33 m³/s

Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.

Géométrie

A = (b + z·y)·y = (5,5 + 1·1,9)·1,9 = 14,06 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5,5 + 2·1,9·√(1 + 1²) = 10,87 m

R = A/P = 1,293 m

Vitesse

V = (1/0,012)·1,293^2/3·0,0008^1/2 = 2,797 m/s

Débit

Q = A·V = 14,06·2,797 = 39,33 m³/s

Réponse

Q = 39,33 m³/s

10.Écoulement à surface libre (Manning)

Réponse: S = 0,001025 m/m

Géométrie

A = b·y = 6·1,8 = 10,8 m²

P = b + 2y = 6 + 2·1,8 = 9,6 m

R = A/P = 1,125 m

Résoudre Manning pour S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·17/(10,8·1,082) = 0,03201

S = 0,03201² = 0,001025

Réponse

S = 0,001025

Cela correspond à une pente de 1,025 m par kilomètre.

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