Hydraulique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Poussée hydrostatique

Pression à une profondeur: p = ρgh
Force sur une paroi verticale: F = ρg·h_c·A
Centre de poussée: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectangle: I_c = bH³/12

Continuité et Bernoulli

Continuité: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Débit: Q = A·v
Aire du disque: A = πd²/4

Frottement en conduite et pertes de charge

Nombre de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régime d’écoulement: laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
Vitesse moyenne: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pertes de charge singulières: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valeurs typiques de K: entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
Chute de pression: Δp = ρ·g·h_f
Deux réservoirs à l’air libre: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sortie libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompes et puissance de pompage

Puissance hydraulique: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Puissance sur l’arbre: P_shaft = P_h/η_pump
Puissance électrique: P_el = P_shaft/η_motor
Hauteur manométrique de la pompe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pertes du réseau: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Écoulement à surface libre (Manning)

Formule de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Débit: Q = A·V
Rayon hydraulique: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rectangle: A = b·y, P = b + 2y
Trapèze (fruit des berges z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Conduite circulaire, pleine ou à moitié pleine: R = D/4
Pente nécessaire: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercices

1.Poussée hydrostatiqueMoyen

Une vanne rectangulaire verticale de 2 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 2 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 2 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Poussée hydrostatiqueDifficile

Une vanne rectangulaire verticale de 3 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de huile, avec son bord supérieur à 0,5 m sous la surface. Trouvez la profondeur y_cp du centre de poussée sous la surface.

d = 0,5 mH = 1 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuité et BernoulliMoyen

De l’eau s’écoule dans un venturimètre horizontal de diamètre d’entrée 200 mm et de diamètre au col 150 mm. La pression à l’entrée dépasse de 20 kPa celle au col. En négligeant les pertes, trouvez le débit Q.

d₁ = 200 mmd₂ = 150 mmp₁ − p₂ = 20 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Continuité et BernoulliDifficile

La buse d’une fontaine est dirigée verticalement vers le haut. Juste sous la buse, la conduite d’alimentation a un diamètre de 100 mm et une pression relative de 110 kPa. Le diamètre de sortie de la buse est de 25 mm et la différence de hauteur à travers la buse est négligeable. En négligeant les pertes et la résistance de l’air, trouvez la hauteur H à laquelle le jet s’élève au-dessus de la buse. Prenez g = 9,81 m/s².

d₁ = 100 mmp₁ = 110 kPa (relative)d₂ = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen

De l’eau s’écoule avec un débit de 75 L/s dans une conduite de 300 m de long et de diamètre intérieur 300 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,03 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement h_f.

Q = 75 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile

Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 200 m de long, de diamètre intérieur 250 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,02. La surface de l’eau du réservoir supérieur est 5 m plus haut que celle du réservoir inférieur. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 4 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 0,2) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le débit Q en L/s.

Δz = 5 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Pompes et puissance de pompageMoyen

Une pompe débite 150 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 24 m. Le rendement de la pompe est de 75 % et le moteur électrique qui l’entraîne a un rendement de 94 %. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance électrique P_el absorbée par le moteur, en kW.

Q = 150 L/sH = 24 mη_pump = 75%η_motor = 94%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompes et puissance de pompageDifficile

Une pompe refoule 60 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 25 m plus haut. La conduite mesure 100 m de long, a un diamètre intérieur de 200 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,025 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 8 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.

Q = 60 L/sΔz = 25 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,025ΣK = 8

H = m

9.Écoulement à surface libre (Manning)Moyen

Un canal trapézoïdal en béton lissé a une largeur au fond de 1 m et un fruit des berges de 1:1 (horizontal:vertical). L’eau s’écoule uniformément sur 1 m de profondeur. n de Manning = 0,012 et la pente du fond vaut S = 0,001. Trouvez le débit Q en m³/s.

b = 1 my = 1 mz = 1n = 0,012S = 0,001

Q = m³/s

10.Écoulement à surface libre (Manning)Difficile

Un canal trapézoïdal en béton brut de largeur au fond 3,5 m et de fruit des berges 1:1 (horizontal:vertical) doit transporter 31 m³/s en écoulement uniforme à une profondeur de 2,1 m. n de Manning = 0,014. Trouvez la pente du fond nécessaire S (en m/m).

Q = 31 m³/sb = 3,5 my = 2,1 mz = 1n = 0,014

S = m/m

3Solutions

1.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 159,4 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·5 = 159,4 kN

Réponse

F = 159,4 kN

2.Poussée hydrostatique

Réponse: y_cp = 1,083 m

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·1·3 = 25,9 kN

Centre de poussée

La pression augmente avec la profondeur, donc la résultante agit sous le centre de gravité.

I_c = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0,25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1 + 0,25/(1·3) = 1,083 m

Réponse

y_cp = 1,083 m

3.Continuité et Bernoulli

Réponse: Q = 135,2 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Continuité

v₁ = v₂·(150/200)² = 0,5625·v₂

Bernoulli entre l’entrée et le col

La conduite est horizontale, donc seules la pression et la vitesse varient.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·20000/(1000·(1 − 0,3164))) = 7,649 m/s

v₁ = 4,303 m/s

Débit

Q = A₂·v₂ = 0,01767·7,649 = 0,1352 m³/s = 135,2 L/s

Réponse

Q = 135,2 L/s

4.Continuité et Bernoulli

Réponse: H = 11,26 m

Vitesse de sortie

β = 25/100 = 0,25

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·110000/(1000·0,9961)) = 14,86 m/s

Hauteur du jet

Bernoulli le long du jet : au sommet, la vitesse est nulle et la pression est de nouveau atmosphérique.

H = v₂²/(2g) = 14,86²/(2·9,81) = 11,26 m

Réponse

H = 11,26 m

5.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: h_f = 1,721 m

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières h_m = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = h_f + h_m, perte de sortie K = 1 comprise.

Vitesse moyenne

A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²

V = Q/A = 0,075/0,07069 = 1,061 m/s

Hauteur cinétique

V²/(2g) = 1,061²/(2·9,81) = 0,05738 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(300/0,3)·1,061²/(2·9,81) = 1,721 m

Réponse

h_f = 1,721 m

6.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: Q = 111,8 L/s

Coefficients de perte de charge

f·L/D = 0,02·200/0,25 = 16

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,9

Équation de l’énergie

Les deux surfaces sont à l’air libre et pratiquement au repos ; tout Δz est donc perdu dans la conduite.

5 = (16 + 2,9)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·5/18,9) = 2,278 m/s

Débit

Q = V·π·D²/4 = 2,278·0,04909 = 0,1118 m³/s = 111,8 L/s

Réponse

Q = 111,8 L/s

7.Pompes et puissance de pompage

Réponse: P_el = 50,09 kW

Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : P_shaft = P_h/η_pump, et le moteur absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.

Puissance hydraulique

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·24 = 35,32 kW

Puissance sur l’arbre

P_shaft = 35,32/0,75 = 47,09 kW

Puissance électrique

P_el = 47,09/0,94 = 50,09 kW

Réponse

P_el = 50,09 kW

8.Pompes et puissance de pompage

Réponse: H = 28,81 m

Vitesse

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Pertes de charge

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12,5 + 8)·0,1859 = 3,811 m

Hauteur manométrique de la pompe

Les deux surfaces sont à l’air libre et pratiquement au repos ; les termes de pression et de vitesse disparaissent donc.

H = Δz + h_L = 25 + 3,811 = 28,81 m

Réponse

H = 28,81 m

9.Écoulement à surface libre (Manning)

Réponse: Q = 3,419 m³/s

Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.

Géométrie

A = (b + z·y)·y = (1 + 1·1)·1 = 2 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·1·√(1 + 1²) = 3,828 m

R = A/P = 0,5224 m

Vitesse

V = (1/0,012)·0,5224^2/3·0,001^1/2 = 1,709 m/s

Débit

Q = A·V = 2·1,709 = 3,419 m³/s

Réponse

Q = 3,419 m³/s

10.Écoulement à surface libre (Manning)

Réponse: S = 0,001016 m/m

Géométrie

A = (b + z·y)·y = (3,5 + 1·2,1)·2,1 = 11,76 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·2,1·√(1 + 1²) = 9,44 m

R = A/P = 1,246 m

Résoudre Manning pour S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·31/(11,76·1,158) = 0,03187

S = 0,03187² = 0,001016

Réponse

S = 0,001016

Cela correspond à une pente de 1,016 m par kilomètre.

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