Hydraulique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Poussée hydrostatique

Pression à une profondeur: p = ρgh
Force sur une paroi verticale: F = ρg·h_c·A
Centre de poussée: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectangle: I_c = bH³/12

Continuité et Bernoulli

Continuité: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Débit: Q = A·v
Aire du disque: A = πd²/4

Frottement en conduite et pertes de charge

Nombre de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régime d’écoulement: laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
Vitesse moyenne: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pertes de charge singulières: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valeurs typiques de K: entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
Chute de pression: Δp = ρ·g·h_f
Deux réservoirs à l’air libre: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sortie libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompes et puissance de pompage

Puissance hydraulique: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Puissance sur l’arbre: P_shaft = P_h/η_pump
Puissance électrique: P_el = P_shaft/η_motor
Hauteur manométrique de la pompe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pertes du réseau: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Écoulement à surface libre (Manning)

Formule de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Débit: Q = A·V
Rayon hydraulique: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rectangle: A = b·y, P = b + 2y
Trapèze (fruit des berges z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Conduite circulaire, pleine ou à moitié pleine: R = D/4
Pente nécessaire: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercices

1.Poussée hydrostatiqueMoyen

Une vanne rectangulaire verticale de 1 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 3 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 3 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Poussée hydrostatiqueDifficile

Une vanne rectangulaire verticale de 3 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de glycérine, avec son bord supérieur à 0,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 0,5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuité et BernoulliMoyen

De l’eau s’écoule à 22 L/s dans une conduite horizontale qui se rétrécit de 200 mm à 100 mm. La pression dans la partie étroite vaut 190 kPa. En négligeant les pertes, trouvez la pression p₁ dans la partie large.

Q = 22 L/sd₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₂ = 190 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuité et BernoulliDifficile

La buse d’une fontaine est dirigée verticalement vers le haut. Juste sous la buse, la conduite d’alimentation a un diamètre de 50 mm et une pression relative de 30 kPa. Le diamètre de sortie de la buse est de 30 mm et la différence de hauteur à travers la buse est négligeable. En négligeant les pertes et la résistance de l’air, trouvez la hauteur H à laquelle le jet s’élève au-dessus de la buse. Prenez g = 9,81 m/s².

d₁ = 50 mmp₁ = 30 kPa (relative)d₂ = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen

De l’eau s’écoule avec un débit de 80 L/s dans une conduite de 100 m de long et de diamètre intérieur 250 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,022 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement h_f.

Q = 80 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile

Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 300 m de long, de diamètre intérieur 300 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,018. La surface de l’eau du réservoir supérieur est 13 m plus haut que celle du réservoir inférieur. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 2 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 0,2) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le débit Q en L/s.

Δz = 13 mL = 300 mD = 300 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Pompes et puissance de pompageMoyen

Une pompe débite 30 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 74 m. Le rendement de la pompe est de 80 % et le moteur électrique qui l’entraîne a un rendement de 88 %. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance électrique P_el absorbée par le moteur, en kW.

Q = 30 L/sH = 74 mη_pump = 80%η_motor = 88%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompes et puissance de pompageDifficile

Une pompe refoule 50 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 10 m plus haut. La conduite mesure 200 m de long, a un diamètre intérieur de 150 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,02 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 4 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le réservoir supérieur est fermé et l’air au-dessus de l’eau est à une pression relative de 150 kPa. Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.

Q = 50 L/sΔz = 10 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 4p_tank = 150 kPa

H = m

9.Écoulement à surface libre (Manning)Moyen

Un canal rectangulaire en terre enherbée mesure 5,5 m de large. L’eau s’écoule uniformément sur 1,4 m de profondeur. n de Manning = 0,03 et la pente du fond vaut S = 0,0015. Trouvez le débit Q en m³/s.

b = 5,5 my = 1,4 mn = 0,03S = 0,0015

Q = m³/s

10.Écoulement à surface libre (Manning)Difficile

Un collecteur en béton de diamètre intérieur 375 mm (n de Manning = 0,013) doit atteindre une vitesse d’autocurage de 0,75 m/s lorsqu’il coule tout juste plein. Trouvez la pente minimale S (en m/m).

D = 375 mmn = 0,013V = 0,75 m/s

S = m/m

3Solutions

1.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 34,34 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3,5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·1 = 34,34 kN

Réponse

F = 34,34 kN

2.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 111,2 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2/2 = 1,5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·1,5·6 = 111,2 kN

Réponse

F = 111,2 kN

3.Continuité et Bernoulli

Réponse: p₁ = 193,7 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Vitesses

v₁ = Q/A₁ = 0,022/0,03142 = 0,7003 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,022/0,007854 = 2,801 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 190 + ½·1000·(2,801² − 0,7003²)/1000 = 190 + 3,678 = 193,7 kPa

Réponse

p₁ = 193,7 kPa

4.Continuité et Bernoulli

Réponse: H = 3,513 m

Vitesse de sortie

β = 30/50 = 0,6

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·30000/(1000·0,8704)) = 8,303 m/s

Hauteur du jet

Bernoulli le long du jet : au sommet, la vitesse est nulle et la pression est de nouveau atmosphérique.

H = v₂²/(2g) = 8,303²/(2·9,81) = 3,513 m

Réponse

H = 3,513 m

5.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: h_f = 1,191 m

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières h_m = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = h_f + h_m, perte de sortie K = 1 comprise.

Vitesse moyenne

A = π·0,25²/4 = 0,04909 m²

V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s

Hauteur cinétique

V²/(2g) = 1,63²/(2·9,81) = 0,1354 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(100/0,25)·1,63²/(2·9,81) = 1,191 m

Réponse

h_f = 1,191 m

6.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: Q = 250,6 L/s

Coefficients de perte de charge

f·L/D = 0,018·300/0,3 = 18

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,3

Équation de l’énergie

Les deux surfaces sont à l’air libre et pratiquement au repos ; tout Δz est donc perdu dans la conduite.

13 = (18 + 2,3)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·13/20,3) = 3,545 m/s

Débit

Q = V·π·D²/4 = 3,545·0,07069 = 0,2506 m³/s = 250,6 L/s

Réponse

Q = 250,6 L/s

7.Pompes et puissance de pompage

Réponse: P_el = 30,93 kW

Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : P_shaft = P_h/η_pump, et le moteur absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.

Puissance hydraulique

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·74 = 21,78 kW

Puissance sur l’arbre

P_shaft = 21,78/0,8 = 27,22 kW

Puissance électrique

P_el = 27,22/0,88 = 30,93 kW

Réponse

P_el = 30,93 kW

8.Pompes et puissance de pompage

Réponse: H = 37,8 m

Vitesse

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Pertes de charge

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (26,67 + 4)·0,408 = 12,51 m

Hauteur de pression

p/(ρ·g) = 150000/(1000·9,81) = 15,29 m

Hauteur manométrique de la pompe

Les deux surfaces sont pratiquement au repos ; il n’y a donc pas de terme de hauteur cinétique.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 10 + 15,29 + 12,51 = 37,8 m

Réponse

H = 37,8 m

9.Écoulement à surface libre (Manning)

Réponse: Q = 9,456 m³/s

Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.

Géométrie

A = b·y = 5,5·1,4 = 7,7 m²

P = b + 2y = 5,5 + 2·1,4 = 8,3 m

R = A/P = 0,9277 m

Vitesse

V = (1/0,03)·0,9277^2/3·0,0015^1/2 = 1,228 m/s

Débit

Q = A·V = 7,7·1,228 = 9,456 m³/s

Réponse

Q = 9,456 m³/s

10.Écoulement à surface libre (Manning)

Réponse: S = 0,002232 m/m

Rayon hydraulique

R = D/4 = 0,375/4 = 0,09375 m

Résoudre Manning pour S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,75/0,2064)² = 0,002232

Réponse

S = 0,002232

Cela correspond à une pente de 2,232 m par kilomètre.

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