Poussée hydrostatique
- Pression à une profondeur
- p = ρgh
- Force sur une paroi verticale
- F = ρg·hc·A
- Centre de poussée
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectangle
- Ic = bH³/12
Hydraulique : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Continuité et Bernoulli
- Continuité
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Débit
- Q = A·v
- Aire du disque
- A = πd²/4
Frottement en conduite et pertes de charge
- Nombre de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régime d’écoulement
- laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
- Vitesse moyenne
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pertes de charge singulières
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valeurs typiques de K
- entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
- Chute de pression
- Δp = ρ·g·hf
- Deux réservoirs à l’air libre
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sortie libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompes et puissance de pompage
- Puissance hydraulique
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Puissance sur l’arbre
- Pshaft = Ph/ηpump
- Puissance électrique
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Hauteur manométrique de la pompe
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pertes du réseau
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Écoulement à surface libre (Manning)
- Formule de Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Débit
- Q = A·V
- Rayon hydraulique
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rectangle
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapèze (fruit des berges z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Conduite circulaire, pleine ou à moitié pleine
- R = D/4
- Pente nécessaire
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Exercices
1.Poussée hydrostatiqueMoyen
Une vanne rectangulaire verticale de 2 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 1 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
d = 1 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Poussée hydrostatiqueDifficile
Une vanne rectangulaire verticale de 1,5 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de huile, avec son bord supérieur à 4 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
d = 4 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuité et BernoulliMoyen
De l’eau s’écoule dans un venturimètre horizontal de diamètre d’entrée 200 mm et de diamètre au col 100 mm. La pression à l’entrée dépasse de 47 kPa celle au col. En négligeant les pertes, trouvez le débit Q.
d1 = 200 mmd2 = 100 mmp1 − p2 = 47 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Continuité et BernoulliDifficile
Un réservoir d’eau fermé contient de l’air comprimé au-dessus de l’eau à une pression relative de 90 kPa. L’eau sort à l’air libre par un orifice de 40 mm de diamètre, situé 4 m sous la surface de l’eau. En négligeant les pertes, trouvez la vitesse du jet v. Prenez g = 9,81 m/s².
pair = 90 kPa (relative)h = 4 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
v = m/s
5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen
De l’eau (ρ = 1000 kg/m³) s’écoule à 1,6 m/s dans une conduite horizontale de 400 m de long et de diamètre intérieur 75 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,025 et g = 9,81 m/s². Trouvez la chute de pression Δp le long de la conduite, en kPa.
V = 1,6 m/sL = 400 mD = 75 mmf = 0,025ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile
Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 300 m de long, de diamètre intérieur 200 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,015. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 2 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 2) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Quelle différence de niveau d’eau Δz entre les réservoirs donne un débit de 100 L/s ?
Q = 100 L/sL = 300 mD = 200 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pompes et puissance de pompageMoyen
Une pompe de rendement 75 % débite 100 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 78 m. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance sur l’arbre Pshaft nécessaire, en kW.
Q = 100 L/sH = 78 mη = 75%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pompes et puissance de pompageDifficile
Une pompe refoule 100 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 10 m plus haut. La conduite mesure 500 m de long, a un diamètre intérieur de 250 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,015 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 5 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le réservoir supérieur est fermé et l’air au-dessus de l’eau est à une pression relative de 350 kPa. Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.
Q = 100 L/sΔz = 10 mL = 500 mD = 250 mmf = 0,015ΣK = 5ptank = 350 kPa
H = m
9.Écoulement à surface libre (Manning)Moyen
Un canal trapézoïdal en maçonnerie de briques a une largeur au fond de 1 m et un fruit des berges de 1,5:1 (horizontal:vertical). L’eau s’écoule uniformément sur 1,1 m de profondeur. n de Manning = 0,015 et la pente du fond vaut S = 0,0015. Trouvez le débit Q en m³/s.
b = 1 my = 1,1 mz = 1,5n = 0,015S = 0,0015
Q = m³/s
10.Écoulement à surface libre (Manning)Difficile
Un canal rectangulaire en terre enherbée de 1 m de large doit transporter 0,45 m³/s en écoulement uniforme à une profondeur de 0,9 m. n de Manning = 0,03. Trouvez la pente du fond nécessaire S (en m/m).
Q = 0,45 m³/sb = 1 my = 0,9 mn = 0,03
S = m/m
3Solutions
1.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 110,4 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m
A = H·b = 2,5·2 = 5 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,25·5 = 110,4 kN
Réponse
F = 110,4 kN
2.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 129,5 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m
A = H·b = 2·1,5 = 3 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·5·3 = 129,5 kN
Réponse
F = 129,5 kN
3.Continuité et Bernoulli
Réponse: Q = 78,64 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Continuité
v1 = v2·(100/200)² = 0,25·v2
Bernoulli entre l’entrée et le col
La conduite est horizontale, donc seules la pression et la vitesse varient.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·47000/(1000·(1 − 0,0625))) = 10,01 m/s
v1 = 2,503 m/s
Débit
Q = A2·v2 = 0,007854·10,01 = 0,07864 m³/s = 78,64 L/s
Réponse
Q = 78,64 L/s
4.Continuité et Bernoulli
Réponse: v = 16,08 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Bernoulli de la surface au jet
v = √(2·(90000/1000 + 9,81·4)) = 16,08 m/s
Réponse
v = 16,08 m/s
5.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: Δp = 170,7 kPa
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Perte de charge
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(400/0,075)·1,6²/(2·9,81) = 17,4 m
Chute de pression
La conduite est horizontale et la vitesse ne change pas ; l’équation de l’énergie se réduit donc à Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·17,4 = 170667 Pa = 170,7 kPa
Réponse
Δp = 170,7 kPa
6.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: Δz = 13,74 m
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Vitesse
V = Q/A = 0,1/0,03142 = 3,183 m/s
V²/(2g) = 0,5164 m
Coefficients de perte de charge
f·L/D = 0,015·300/0,2 = 22,5
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 + 1,0 = 4,1
Perte de charge totale
hf = 22,5·0,5164 = 11,62 m
hm = 4,1·0,5164 = 2,117 m
Δz = hf + hm = 13,74 m
Réponse
Δz = 13,74 m
7.Pompes et puissance de pompage
Réponse: Pshaft = 102 kW
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Puissance hydraulique
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·78 = 76,52 kW
Puissance sur l’arbre
Pshaft = Ph/η = 76,52/0,75 = 102 kW
Réponse
Pshaft = 102 kW
8.Pompes et puissance de pompage
Réponse: H = 53,08 m
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Vitesse
V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s
V²/(2g) = 0,2115 m
Pertes de charge
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 5)·0,2115 = 7,403 m
Hauteur de pression
p/(ρ·g) = 350000/(1000·9,81) = 35,68 m
Hauteur manométrique de la pompe
Les deux surfaces sont pratiquement au repos ; il n’y a donc pas de terme de hauteur cinétique.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 10 + 35,68 + 7,403 = 53,08 m
Réponse
H = 53,08 m
9.Écoulement à surface libre (Manning)
Réponse: Q = 5,276 m³/s
Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R2/3·S1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.
Géométrie
A = (b + z·y)·y = (1 + 1,5·1,1)·1,1 = 2,915 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·1,1·√(1 + 1,5²) = 4,966 m
R = A/P = 0,587 m
Vitesse
V = (1/0,015)·0,5872/3·0,00151/2 = 1,81 m/s
Débit
Q = A·V = 2,915·1,81 = 5,276 m³/s
Réponse
Q = 5,276 m³/s
10.Écoulement à surface libre (Manning)
Réponse: S = 0,001022 m/m
Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R2/3·S1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.
Géométrie
A = b·y = 1·0,9 = 0,9 m²
P = b + 2y = 1 + 2·0,9 = 2,8 m
R = A/P = 0,3214 m
Résoudre Manning pour S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,03·0,45/(0,9·0,4692) = 0,03197
S = 0,03197² = 0,001022
Réponse
S = 0,001022
Cela correspond à une pente de 1,022 m par kilomètre.
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