Hydraulique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Poussée hydrostatique

Pression à une profondeur: p = ρgh
Force sur une paroi verticale: F = ρg·h_c·A
Centre de poussée: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectangle: I_c = bH³/12

Continuité et Bernoulli

Continuité: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Débit: Q = A·v
Aire du disque: A = πd²/4

Frottement en conduite et pertes de charge

Nombre de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régime d’écoulement: laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
Vitesse moyenne: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pertes de charge singulières: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valeurs typiques de K: entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
Chute de pression: Δp = ρ·g·h_f
Deux réservoirs à l’air libre: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sortie libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompes et puissance de pompage

Puissance hydraulique: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Puissance sur l’arbre: P_shaft = P_h/η_pump
Puissance électrique: P_el = P_shaft/η_motor
Hauteur manométrique de la pompe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pertes du réseau: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Écoulement à surface libre (Manning)

Formule de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Débit: Q = A·V
Rayon hydraulique: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rectangle: A = b·y, P = b + 2y
Trapèze (fruit des berges z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Conduite circulaire, pleine ou à moitié pleine: R = D/4
Pente nécessaire: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercices

1.Poussée hydrostatiqueMoyen

Une vanne rectangulaire verticale de 3 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 1,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 1,5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Poussée hydrostatiqueDifficile

Une vanne rectangulaire verticale de 1 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau de mer, avec son bord supérieur à 0,5 m sous la surface. Trouvez la profondeur y_cp du centre de poussée sous la surface.

d = 0,5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuité et BernoulliMoyen

L’eau circule dans une conduite horizontale qui se rétrécit de 150 mm à 75 mm. Dans la partie large, la pression vaut 290 kPa et la vitesse 2 m/s. En négligeant les pertes, trouvez la pression p₂ dans la partie étroite.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 290 kPav₁ = 2 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuité et BernoulliDifficile

L’eau monte dans une conduite qui se rétrécit de 150 mm à 100 mm en s’élevant de 1 m. En section 1, la pression vaut 380 kPa et la vitesse 3 m/s. En négligeant les pertes, trouvez la pression p₂ en section 2.

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ = 380 kPav₁ = 3 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen

De l’eau s’écoule avec un débit de 20 L/s dans une conduite de 150 m de long et de diamètre intérieur 200 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,018 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement h_f.

Q = 20 L/sL = 150 mD = 200 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile

Une conduite de 200 m de long et de diamètre intérieur 300 mm (coefficient de frottement de Darcy f = 0,015) part d’un réservoir à l’air libre et débouche à l’air libre en jet. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 2 coudes (K = 0,3 chacun) et une vanne (K = 5). Prenez g = 9,81 m/s². De combien H la surface du réservoir doit-elle être au-dessus de la sortie de la conduite pour un débit de 150 L/s ?

Q = 150 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 5

H = m

7.Pompes et puissance de pompageMoyen

Une pompe débite 60 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 74 m. Le rendement de la pompe est de 82 % et le moteur électrique qui l’entraîne a un rendement de 95 %. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance électrique P_el absorbée par le moteur, en kW.

Q = 60 L/sH = 74 mη_pump = 82%η_motor = 95%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompes et puissance de pompageDifficile

Une pompe refoule 80 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 8 m plus haut. La conduite mesure 400 m de long, a un diamètre intérieur de 200 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,025 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 4 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le réservoir supérieur est fermé et l’air au-dessus de l’eau est à une pression relative de 250 kPa. Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.

Q = 80 L/sΔz = 8 mL = 400 mD = 200 mmf = 0,025ΣK = 4p_tank = 250 kPa

H = m

9.Écoulement à surface libre (Manning)Moyen

Un canal trapézoïdal en béton brut a une largeur au fond de 1 m et un fruit des berges de 2:1 (horizontal:vertical). L’eau s’écoule uniformément sur 2,5 m de profondeur. n de Manning = 0,014 et la pente du fond vaut S = 0,0005. Trouvez le débit Q en m³/s.

b = 1 my = 2,5 mz = 2n = 0,014S = 0,0005

Q = m³/s

10.Écoulement à surface libre (Manning)Difficile

Un canal rectangulaire en béton lissé de 3 m de large doit transporter 20 m³/s en écoulement uniforme à une profondeur de 2,2 m. n de Manning = 0,012. Trouvez la pente du fond nécessaire S (en m/m).

Q = 20 m³/sb = 3 my = 2,2 mn = 0,012

S = m/m

3Solutions

1.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 147,2 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·6 = 147,2 kN

Réponse

F = 147,2 kN

2.Poussée hydrostatique

Réponse: y_cp = 1,083 m

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·1·1 = 10,06 kN

Centre de poussée

La pression augmente avec la profondeur, donc la résultante agit sous le centre de gravité.

I_c = b·H³/12 = 1·1³/12 = 0,08333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1 + 0,08333/(1·1) = 1,083 m

Réponse

y_cp = 1,083 m

3.Continuité et Bernoulli

Réponse: p₂ = 260 kPa

Continuité et Bernoulli : pour un fluide incompressible, le débit est le même dans toutes les sections, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Le long d’une ligne de courant sans pertes, p + ½ρv² + ρgz est constant, donc là où le fluide va plus vite ou plus haut, sa pression est plus faible.

Continuité et Bernoulli

Travaillez en Pa, puis divisez par 1000 pour obtenir des kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(150/75)² = 8 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 8²)/1000 = −30 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 290 + (−30) = 260 kPa

Réponse

p₂ = 260 kPa

4.Continuité et Bernoulli

Réponse: p₂ = 351,9 kPa

Continuité et Bernoulli

Travaillez en Pa, puis divisez par 1000 pour obtenir des kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(150/100)² = 6,75 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 6,75²)/1000 = −18,28 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·1/1000 = 9,81 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 380 + (−18,28) − 9,81 = 351,9 kPa

Réponse

p₂ = 351,9 kPa

5.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: h_f = 0,2789 m

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières h_m = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = h_f + h_m, perte de sortie K = 1 comprise.

Vitesse moyenne

A = π·0,2²/4 = 0,03142 m²

V = Q/A = 0,02/0,03142 = 0,6366 m/s

Hauteur cinétique

V²/(2g) = 0,6366²/(2·9,81) = 0,02066 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(150/0,2)·0,6366²/(2·9,81) = 0,2789 m

Réponse

h_f = 0,2789 m

6.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: H = 3,925 m

Vitesse

V = Q/A = 0,15/0,07069 = 2,122 m/s

V²/(2g) = 0,2295 m

Coefficients de perte de charge

f·L/D = 0,015·200/0,3 = 10

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 = 6,1

Équation de l’énergie

Le jet de sortie emporte encore sa hauteur cinétique ; ce n’est pas une perte, mais elle doit être fournie.

H = (1 + 10 + 6,1)·0,2295 = 3,925 m

Réponse

H = 3,925 m

7.Pompes et puissance de pompage

Réponse: P_el = 55,91 kW

Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : P_shaft = P_h/η_pump, et le moteur absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.

Puissance hydraulique

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·74 = 43,56 kW

Puissance sur l’arbre

P_shaft = 43,56/0,82 = 53,12 kW

Puissance électrique

P_el = 53,12/0,95 = 55,91 kW

Réponse

P_el = 55,91 kW

8.Pompes et puissance de pompage

Réponse: H = 51,33 m

Vitesse

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Pertes de charge

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (50 + 4)·0,3305 = 17,85 m

Hauteur de pression

p/(ρ·g) = 250000/(1000·9,81) = 25,48 m

Hauteur manométrique de la pompe

Les deux surfaces sont pratiquement au repos ; il n’y a donc pas de terme de hauteur cinétique.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 8 + 25,48 + 17,85 = 51,33 m

Réponse

H = 51,33 m

9.Écoulement à surface libre (Manning)

Réponse: Q = 27,53 m³/s

Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.

Géométrie

A = (b + z·y)·y = (1 + 2·2,5)·2,5 = 15 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·2,5·√(1 + 2²) = 12,18 m

R = A/P = 1,231 m

Vitesse

V = (1/0,014)·1,231^2/3·0,0005^1/2 = 1,835 m/s

Débit

Q = A·V = 15·1,835 = 27,53 m³/s

Réponse

Q = 27,53 m³/s

10.Écoulement à surface libre (Manning)

Réponse: S = 0,00154 m/m

Géométrie

A = b·y = 3·2,2 = 6,6 m²

P = b + 2y = 3 + 2·2,2 = 7,4 m

R = A/P = 0,8919 m

Résoudre Manning pour S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·20/(6,6·0,9266) = 0,03925

S = 0,03925² = 0,00154

Réponse

S = 0,00154

Cela correspond à une pente de 1,54 m par kilomètre.

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