Hydraulique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Poussée hydrostatique

Pression à une profondeur: p = ρgh
Force sur une paroi verticale: F = ρg·h_c·A
Centre de poussée: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectangle: I_c = bH³/12

Continuité et Bernoulli

Continuité: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Débit: Q = A·v
Aire du disque: A = πd²/4

Frottement en conduite et pertes de charge

Nombre de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régime d’écoulement: laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
Vitesse moyenne: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pertes de charge singulières: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valeurs typiques de K: entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
Chute de pression: Δp = ρ·g·h_f
Deux réservoirs à l’air libre: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sortie libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompes et puissance de pompage

Puissance hydraulique: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Puissance sur l’arbre: P_shaft = P_h/η_pump
Puissance électrique: P_el = P_shaft/η_motor
Hauteur manométrique de la pompe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pertes du réseau: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Écoulement à surface libre (Manning)

Formule de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Débit: Q = A·V
Rayon hydraulique: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rectangle: A = b·y, P = b + 2y
Trapèze (fruit des berges z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Conduite circulaire, pleine ou à moitié pleine: R = D/4
Pente nécessaire: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercices

1.Poussée hydrostatiqueMoyen

Une vanne rectangulaire verticale de 3 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 2,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 2,5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Poussée hydrostatiqueDifficile

Une vanne rectangulaire verticale de 3 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de glycérine, avec son bord supérieur à 0,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 0,5 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuité et BernoulliMoyen

De l’eau s’écoule dans un venturimètre horizontal de diamètre d’entrée 300 mm et de diamètre au col 150 mm. La pression à l’entrée dépasse de 20 kPa celle au col. En négligeant les pertes, trouvez le débit Q.

d₁ = 300 mmd₂ = 150 mmp₁ − p₂ = 20 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Continuité et BernoulliDifficile

Un venturimètre horizontal (entrée 150 mm, col 100 mm) est parcouru par de l’eau. Un manomètre différentiel en U à mercure relié entre l’entrée et le col indique une dénivellation de 130 mm. Le coefficient de débit vaut 0,98. Trouvez le débit Q. Prenez ρ = 1000 kg/m³ pour l’eau, 13 600 kg/m³ pour le mercure et g = 9,81 m/s².

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmΔh = 130 mmC_d = 0,98ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen

De l’eau s’écoule avec un débit de 120 L/s dans une conduite de 100 m de long et de diamètre intérieur 300 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,018 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement h_f.

Q = 120 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile

Une conduite de 100 m de long et de diamètre intérieur 300 mm (coefficient de frottement de Darcy f = 0,025) part d’un réservoir à l’air libre et débouche à l’air libre en jet. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 3 coudes (K = 0,3 chacun) et une vanne (K = 5). Prenez g = 9,81 m/s². De combien H la surface du réservoir doit-elle être au-dessus de la sortie de la conduite pour un débit de 120 L/s ?

Q = 120 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5

H = m

7.Pompes et puissance de pompageMoyen

Une pompe débite 20 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 72 m. Le rendement de la pompe est de 85 % et le moteur électrique qui l’entraîne a un rendement de 92 %. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance électrique P_el absorbée par le moteur, en kW.

Q = 20 L/sH = 72 mη_pump = 85%η_motor = 92%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompes et puissance de pompageDifficile

Une pompe refoule 50 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 22 m plus haut. La conduite mesure 400 m de long, a un diamètre intérieur de 150 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,015 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 6 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le réservoir supérieur est fermé et l’air au-dessus de l’eau est à une pression relative de 350 kPa. Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.

Q = 50 L/sΔz = 22 mL = 400 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 6p_tank = 350 kPa

H = m

9.Écoulement à surface libre (Manning)Moyen

Un canal trapézoïdal en gravier a une largeur au fond de 1 m et un fruit des berges de 1:1 (horizontal:vertical). L’eau s’écoule uniformément sur 0,6 m de profondeur. n de Manning = 0,025 et la pente du fond vaut S = 0,002. Trouvez le débit Q en m³/s.

b = 1 my = 0,6 mz = 1n = 0,025S = 0,002

Q = m³/s

10.Écoulement à surface libre (Manning)Difficile

Un collecteur en béton de diamètre intérieur 450 mm (n de Manning = 0,013) doit atteindre une vitesse d’autocurage de 0,75 m/s lorsqu’il coule tout juste plein. Trouvez la pente minimale S (en m/m).

D = 450 mmn = 0,013V = 0,75 m/s

S = m/m

3Solutions

1.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 88,29 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·3 = 88,29 kN

Réponse

F = 88,29 kN

2.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 69,53 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1,5/2 = 1,25 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·1,25·4,5 = 69,53 kN

Réponse

F = 69,53 kN

3.Continuité et Bernoulli

Réponse: Q = 115,4 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Continuité

v₁ = v₂·(150/300)² = 0,25·v₂

Bernoulli entre l’entrée et le col

La conduite est horizontale, donc seules la pression et la vitesse varient.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·20000/(1000·(1 − 0,0625))) = 6,532 m/s

v₁ = 1,633 m/s

Débit

Q = A₂·v₂ = 0,01767·6,532 = 0,1154 m³/s = 115,4 L/s

Réponse

Q = 115,4 L/s

4.Continuité et Bernoulli

Réponse: Q = 48,71 L/s

Différence de pression d’après le manomètre

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,13 = 16069 Pa

Vitesse au col

La continuité et Bernoulli donnent ensemble la vitesse idéale au col.

β = 100/150 = 0,6667

v₂ = √(2·16069/(1000·(1 − 0,1975))) = 6,328 m/s

Débit réel

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,98·0,007854·6,328 = 0,04871 m³/s = 48,71 L/s

Réponse

Q = 48,71 L/s

5.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: h_f = 0,8814 m

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières h_m = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = h_f + h_m, perte de sortie K = 1 comprise.

Vitesse moyenne

A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²

V = Q/A = 0,12/0,07069 = 1,698 m/s

Hauteur cinétique

V²/(2g) = 1,698²/(2·9,81) = 0,1469 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(100/0,3)·1,698²/(2·9,81) = 0,8814 m

Réponse

h_f = 0,8814 m

6.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: H = 2,311 m

Vitesse

V = Q/A = 0,12/0,07069 = 1,698 m/s

V²/(2g) = 0,1469 m

Coefficients de perte de charge

f·L/D = 0,025·100/0,3 = 8,333

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 = 6,4

Équation de l’énergie

Le jet de sortie emporte encore sa hauteur cinétique ; ce n’est pas une perte, mais elle doit être fournie.

H = (1 + 8,333 + 6,4)·0,1469 = 2,311 m

Réponse

H = 2,311 m

7.Pompes et puissance de pompage

Réponse: P_el = 18,06 kW

Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : P_shaft = P_h/η_pump, et le moteur absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.

Puissance hydraulique

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·72 = 14,13 kW

Puissance sur l’arbre

P_shaft = 14,13/0,85 = 16,62 kW

Puissance électrique

P_el = 16,62/0,92 = 18,06 kW

Réponse

P_el = 18,06 kW

8.Pompes et puissance de pompage

Réponse: H = 76,45 m

Vitesse

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Pertes de charge

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (40 + 6)·0,408 = 18,77 m

Hauteur de pression

p/(ρ·g) = 350000/(1000·9,81) = 35,68 m

Hauteur manométrique de la pompe

Les deux surfaces sont pratiquement au repos ; il n’y a donc pas de terme de hauteur cinétique.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 22 + 35,68 + 18,77 = 76,45 m

Réponse

H = 76,45 m

9.Écoulement à surface libre (Manning)

Réponse: Q = 0,8625 m³/s

Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.

Géométrie

A = (b + z·y)·y = (1 + 1·0,6)·0,6 = 0,96 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·0,6·√(1 + 1²) = 2,697 m

R = A/P = 0,3559 m

Vitesse

V = (1/0,025)·0,3559^2/3·0,002^1/2 = 0,8985 m/s

Débit

Q = A·V = 0,96·0,8985 = 0,8625 m³/s

Réponse

Q = 0,8625 m³/s

10.Écoulement à surface libre (Manning)

Réponse: S = 0,00175 m/m

Rayon hydraulique

R = D/4 = 0,45/4 = 0,1125 m

Résoudre Manning pour S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,75/0,233)² = 0,00175

Réponse

S = 0,00175

Cela correspond à une pente de 1,75 m par kilomètre.

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