Hydraulique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Poussée hydrostatique

Pression à une profondeur: p = ρgh
Force sur une paroi verticale: F = ρg·h_c·A
Centre de poussée: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectangle: I_c = bH³/12

Continuité et Bernoulli

Continuité: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Débit: Q = A·v
Aire du disque: A = πd²/4

Frottement en conduite et pertes de charge

Nombre de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régime d’écoulement: laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
Vitesse moyenne: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pertes de charge singulières: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valeurs typiques de K: entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
Chute de pression: Δp = ρ·g·h_f
Deux réservoirs à l’air libre: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sortie libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompes et puissance de pompage

Puissance hydraulique: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Puissance sur l’arbre: P_shaft = P_h/η_pump
Puissance électrique: P_el = P_shaft/η_motor
Hauteur manométrique de la pompe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pertes du réseau: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Écoulement à surface libre (Manning)

Formule de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Débit: Q = A·V
Rayon hydraulique: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rectangle: A = b·y, P = b + 2y
Trapèze (fruit des berges z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Conduite circulaire, pleine ou à moitié pleine: R = D/4
Pente nécessaire: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercices

1.Poussée hydrostatiqueMoyen

Une vanne rectangulaire verticale de 1,5 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 1 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 1 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Poussée hydrostatiqueDifficile

Une vanne rectangulaire verticale de 3 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau de mer, avec son bord supérieur à 0,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 0,5 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuité et BernoulliMoyen

De l’eau s’écoule à 21 L/s dans une conduite horizontale qui se rétrécit de 200 mm à 100 mm. La pression dans la partie étroite vaut 230 kPa. En négligeant les pertes, trouvez la pression p₁ dans la partie large.

Q = 21 L/sd₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₂ = 230 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuité et BernoulliDifficile

Un venturimètre horizontal (entrée 200 mm, col 150 mm) est parcouru par de l’eau. Un manomètre différentiel en U à mercure relié entre l’entrée et le col indique une dénivellation de 180 mm. Le coefficient de débit vaut 0,96. Trouvez le débit Q. Prenez ρ = 1000 kg/m³ pour l’eau, 13 600 kg/m³ pour le mercure et g = 9,81 m/s².

d₁ = 200 mmd₂ = 150 mmΔh = 180 mmC_d = 0,96ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen

De l’eau (ρ = 1000 kg/m³) s’écoule à 2,7 m/s dans une conduite horizontale de 150 m de long et de diamètre intérieur 250 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,02 et g = 9,81 m/s². Trouvez la chute de pression Δp le long de la conduite, en kPa.

V = 2,7 m/sL = 150 mD = 250 mmf = 0,02ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile

Une conduite de 100 m de long et de diamètre intérieur 200 mm (coefficient de frottement de Darcy f = 0,02) part d’un réservoir à l’air libre et débouche à l’air libre en jet. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 3 coudes (K = 0,3 chacun) et une vanne (K = 10). Prenez g = 9,81 m/s². De combien H la surface du réservoir doit-elle être au-dessus de la sortie de la conduite pour un débit de 60 L/s ?

Q = 60 L/sL = 100 mD = 200 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10

H = m

7.Pompes et puissance de pompageMoyen

Lors d’un essai, une pompe débite 80 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 44 m tandis que son arbre absorbe 57,6 kW. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le rendement de la pompe η en pourcentage.

Q = 80 L/sH = 44 mP_shaft = 57,6 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Pompes et puissance de pompageDifficile

Une pompe refoule 50 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 13 m plus haut. La conduite mesure 100 m de long, a un diamètre intérieur de 200 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,02 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 6 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le réservoir supérieur est fermé et l’air au-dessus de l’eau est à une pression relative de 250 kPa. Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.

Q = 50 L/sΔz = 13 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 6p_tank = 250 kPa

H = m

9.Écoulement à surface libre (Manning)Moyen

Un canal trapézoïdal en gravier a une largeur au fond de 3,5 m et un fruit des berges de 1,5:1 (horizontal:vertical). L’eau s’écoule uniformément sur 0,6 m de profondeur. n de Manning = 0,025 et la pente du fond vaut S = 0,004. Trouvez le débit Q en m³/s.

b = 3,5 my = 0,6 mz = 1,5n = 0,025S = 0,004

Q = m³/s

10.Écoulement à surface libre (Manning)Difficile

Un canal rectangulaire en terre propre de 1,5 m de large doit transporter 6,4 m³/s en écoulement uniforme à une profondeur de 2 m. n de Manning = 0,022. Trouvez la pente du fond nécessaire S (en m/m).

Q = 6,4 m³/sb = 1,5 my = 2 mn = 0,022

S = m/m

3Solutions

1.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 82,77 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·3,75 = 82,77 kN

Réponse

F = 82,77 kN

2.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 132 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·1,75·7,5 = 132 kN

Réponse

F = 132 kN

3.Continuité et Bernoulli

Réponse: p₁ = 233,4 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Vitesses

v₁ = Q/A₁ = 0,021/0,03142 = 0,6685 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,021/0,007854 = 2,674 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 230 + ½·1000·(2,674² − 0,6685²)/1000 = 230 + 3,351 = 233,4 kPa

Réponse

p₁ = 233,4 kPa

4.Continuité et Bernoulli

Réponse: Q = 136,9 L/s

Différence de pression d’après le manomètre

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,18 = 22249 Pa

Vitesse au col

La continuité et Bernoulli donnent ensemble la vitesse idéale au col.

β = 150/200 = 0,75

v₂ = √(2·22249/(1000·(1 − 0,3164))) = 8,068 m/s

Débit réel

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,96·0,01767·8,068 = 0,1369 m³/s = 136,9 L/s

Réponse

Q = 136,9 L/s

5.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: Δp = 43,74 kPa

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières h_m = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = h_f + h_m, perte de sortie K = 1 comprise.

Perte de charge

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(150/0,25)·2,7²/(2·9,81) = 4,459 m

Chute de pression

La conduite est horizontale et la vitesse ne change pas ; l’équation de l’énergie se réduit donc à Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·4,459 = 43740 Pa = 43,74 kPa

Réponse

Δp = 43,74 kPa

6.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: H = 4,164 m

Vitesse

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Coefficients de perte de charge

f·L/D = 0,02·100/0,2 = 10

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 = 11,4

Équation de l’énergie

Le jet de sortie emporte encore sa hauteur cinétique ; ce n’est pas une perte, mais elle doit être fournie.

H = (1 + 10 + 11,4)·0,1859 = 4,164 m

Réponse

H = 4,164 m

7.Pompes et puissance de pompage

Réponse: η = 59,95 %

Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : P_shaft = P_h/η_pump, et le moteur absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.

Puissance hydraulique

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·44 = 34,53 kW

Rendement

η = P_h/P_shaft = 34,53/57,6 = 59,95%

Réponse

η = 59,95%

8.Pompes et puissance de pompage

Réponse: H = 40,55 m

Vitesse

V = Q/A = 0,05/0,03142 = 1,592 m/s

V²/(2g) = 0,1291 m

Pertes de charge

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10 + 6)·0,1291 = 2,066 m

Hauteur de pression

p/(ρ·g) = 250000/(1000·9,81) = 25,48 m

Hauteur manométrique de la pompe

Les deux surfaces sont pratiquement au repos ; il n’y a donc pas de terme de hauteur cinétique.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 13 + 25,48 + 2,066 = 40,55 m

Réponse

H = 40,55 m

9.Écoulement à surface libre (Manning)

Réponse: Q = 4,015 m³/s

Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.

Géométrie

A = (b + z·y)·y = (3,5 + 1,5·0,6)·0,6 = 2,64 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·0,6·√(1 + 1,5²) = 5,663 m

R = A/P = 0,4662 m

Vitesse

V = (1/0,025)·0,4662^2/3·0,004^1/2 = 1,521 m/s

Débit

Q = A·V = 2,64·1,521 = 4,015 m³/s

Réponse

Q = 4,015 m³/s

10.Écoulement à surface libre (Manning)

Réponse: S = 0,004943 m/m

Géométrie

A = b·y = 1,5·2 = 3 m²

P = b + 2y = 1,5 + 2·2 = 5,5 m

R = A/P = 0,5455 m

Résoudre Manning pour S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·6,4/(3·0,6676) = 0,0703

S = 0,0703² = 0,004943

Réponse

S = 0,004943

Cela correspond à une pente de 4,943 m par kilomètre.

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