Poussée hydrostatique
- Pression à une profondeur
- p = ρgh
- Force sur une paroi verticale
- F = ρg·hc·A
- Centre de poussée
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectangle
- Ic = bH³/12
Hydraulique : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Continuité et Bernoulli
- Continuité
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Débit
- Q = A·v
- Aire du disque
- A = πd²/4
Frottement en conduite et pertes de charge
- Nombre de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régime d’écoulement
- laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
- Vitesse moyenne
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pertes de charge singulières
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valeurs typiques de K
- entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
- Chute de pression
- Δp = ρ·g·hf
- Deux réservoirs à l’air libre
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sortie libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompes et puissance de pompage
- Puissance hydraulique
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Puissance sur l’arbre
- Pshaft = Ph/ηpump
- Puissance électrique
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Hauteur manométrique de la pompe
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pertes du réseau
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Écoulement à surface libre (Manning)
- Formule de Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Débit
- Q = A·V
- Rayon hydraulique
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rectangle
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapèze (fruit des berges z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Conduite circulaire, pleine ou à moitié pleine
- R = D/4
- Pente nécessaire
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Exercices
1.Poussée hydrostatiqueMoyen
Une vanne rectangulaire verticale de 1 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 2,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
d = 2,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Poussée hydrostatiqueDifficile
Une vanne rectangulaire verticale de 3 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de huile, avec son bord supérieur à 2,5 m sous la surface. Trouvez la profondeur ycp du centre de poussée sous la surface.
d = 2,5 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuité et BernoulliMoyen
Un tube de Pitot statique dans une conduite d’eau indique une différence de 37 kPa entre la pression d’arrêt et la pression statique. Trouvez la vitesse de l’eau v à l’extrémité du tube.
p0 − p = 37 kPaρ = 1000 kg/m³
v = m/s
4.Continuité et BernoulliDifficile
L’eau monte dans une conduite qui se rétrécit de 75 mm à 50 mm en s’élevant de 10 m. En section 1, la pression vaut 260 kPa et la vitesse 0,75 m/s. En négligeant les pertes, trouvez la pression p2 en section 2.
d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 260 kPav1 = 0,75 m/sΔz = 10 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen
De l’eau s’écoule avec un débit de 3 L/s dans une conduite de 400 m de long et de diamètre intérieur 50 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,02 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement hf.
Q = 3 L/sL = 400 mD = 50 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile
Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 150 m de long, de diamètre intérieur 250 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,02. La surface de l’eau du réservoir supérieur est 18 m plus haut que celle du réservoir inférieur. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 4 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 10) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le débit Q en L/s.
Δz = 18 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompes et puissance de pompageMoyen
Une pompe de rendement 80 % débite 150 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 20 m. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance sur l’arbre Pshaft nécessaire, en kW.
Q = 150 L/sH = 20 mη = 80%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pompes et puissance de pompageDifficile
Une pompe refoule 80 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 5 m plus haut. La conduite mesure 100 m de long, a un diamètre intérieur de 200 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,018 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 5 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le rendement de la pompe est de 75 %. Trouvez la puissance sur l’arbre Pshaft en kW.
Q = 80 L/sΔz = 5 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 5η = 75%
Pshaft = kW
9.Écoulement à surface libre (Manning)Moyen
Un collecteur d’eaux pluviales en béton de diamètre intérieur 1200 mm coule à moitié plein. n de Manning = 0,013 et la pente vaut S = 0,002. Trouvez le débit Q en m³/s.
D = 1200 mmn = 0,013S = 0,002
Q = m³/s
10.Écoulement à surface libre (Manning)Difficile
Un canal trapézoïdal en maçonnerie de briques de largeur au fond 4 m et de fruit des berges 1,5:1 (horizontal:vertical) doit transporter 23 m³/s en écoulement uniforme à une profondeur de 1,2 m. n de Manning = 0,015. Trouvez la pente du fond nécessaire S (en m/m).
Q = 23 m³/sb = 4 my = 1,2 mz = 1,5n = 0,015
S = m/m
3Solutions
1.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 117,7 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4·3 = 117,7 kN
Réponse
F = 117,7 kN
2.Poussée hydrostatique
Réponse: ycp = 3,308 m
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m
A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·3,25·4,5 = 126,3 kN
Centre de poussée
La pression augmente avec la profondeur, donc la résultante agit sous le centre de gravité.
Ic = b·H³/12 = 3·1,5³/12 = 0,8438 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3,25 + 0,8438/(3,25·4,5) = 3,308 m
Réponse
ycp = 3,308 m
3.Continuité et Bernoulli
Réponse: v = 8,602 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Bernoulli jusqu’au point d’arrêt
L’écoulement s’arrête à l’extrémité du tube, donc son énergie cinétique apparaît sous forme de surpression.
p0 − p = ½ρv²
v = √(2·37000/1000) = 8,602 m/s
Réponse
v = 8,602 m/s
4.Continuité et Bernoulli
Réponse: p2 = 160,8 kPa
Continuité et Bernoulli : pour un fluide incompressible, le débit est le même dans toutes les sections, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Le long d’une ligne de courant sans pertes, p + ½ρv² + ρgz est constant, donc là où le fluide va plus vite ou plus haut, sa pression est plus faible.
Continuité et Bernoulli
Travaillez en Pa, puis divisez par 1000 pour obtenir des kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 0,75·(75/50)² = 1,688 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,75² − 1,688²)/1000 = −1,143 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·10/1000 = 98,1 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 260 + (−1,143) − 98,1 = 160,8 kPa
Réponse
p2 = 160,8 kPa
5.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: hf = 19,04 m
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Vitesse moyenne
A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²
V = Q/A = 0,003/0,001963 = 1,528 m/s
Hauteur cinétique
V²/(2g) = 1,528²/(2·9,81) = 0,119 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(400/0,05)·1,528²/(2·9,81) = 19,04 m
Réponse
hf = 19,04 m
6.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: Q = 185,6 L/s
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Coefficients de perte de charge
f·L/D = 0,02·150/0,25 = 12
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7
Équation de l’énergie
Les deux surfaces sont à l’air libre et pratiquement au repos ; tout Δz est donc perdu dans la conduite.
18 = (12 + 12,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·18/24,7) = 3,781 m/s
Débit
Q = V·π·D²/4 = 3,781·0,04909 = 0,1856 m³/s = 185,6 L/s
Réponse
Q = 185,6 L/s
7.Pompes et puissance de pompage
Réponse: Pshaft = 36,79 kW
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Puissance hydraulique
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·20 = 29,43 kW
Puissance sur l’arbre
Pshaft = Ph/η = 29,43/0,8 = 36,79 kW
Réponse
Pshaft = 36,79 kW
8.Pompes et puissance de pompage
Réponse: Pshaft = 10,07 kW
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Vitesse
V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m
Pertes de charge
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (9 + 5)·0,3305 = 4,627 m
Hauteur manométrique de la pompe
H = Δz + hL = 5 + 4,627 = 9,627 m
Puissance sur l’arbre
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·9,627/0,75 = 10,07 kW
Réponse
Pshaft = 10,07 kW
9.Écoulement à surface libre (Manning)
Réponse: Q = 0,8718 m³/s
Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R2/3·S1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.
Géométrie
A = 0,5655 m², R = D/4 = 0,3 m
Vitesse
V = (1/0,013)·0,32/3·0,0021/2 = 1,542 m/s
Débit
Q = A·V = 0,5655·1,542 = 0,8718 m³/s
Réponse
Q = 0,8718 m³/s
10.Écoulement à surface libre (Manning)
Réponse: S = 0,003121 m/m
Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R2/3·S1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.
Géométrie
A = (b + z·y)·y = (4 + 1,5·1,2)·1,2 = 6,96 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·1,2·√(1 + 1,5²) = 8,327 m
R = A/P = 0,8359 m
Résoudre Manning pour S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,015·23/(6,96·0,8873) = 0,05586
S = 0,05586² = 0,003121
Réponse
S = 0,003121
Cela correspond à une pente de 3,121 m par kilomètre.
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