Poussée hydrostatique
- Pression à une profondeur
- p = ρgh
- Force sur une paroi verticale
- F = ρg·hc·A
- Centre de poussée
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectangle
- Ic = bH³/12
Hydraulique : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Continuité et Bernoulli
- Continuité
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Débit
- Q = A·v
- Aire du disque
- A = πd²/4
Frottement en conduite et pertes de charge
- Nombre de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régime d’écoulement
- laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
- Vitesse moyenne
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pertes de charge singulières
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valeurs typiques de K
- entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
- Chute de pression
- Δp = ρ·g·hf
- Deux réservoirs à l’air libre
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sortie libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompes et puissance de pompage
- Puissance hydraulique
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Puissance sur l’arbre
- Pshaft = Ph/ηpump
- Puissance électrique
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Hauteur manométrique de la pompe
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pertes du réseau
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Écoulement à surface libre (Manning)
- Formule de Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Débit
- Q = A·V
- Rayon hydraulique
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rectangle
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapèze (fruit des berges z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Conduite circulaire, pleine ou à moitié pleine
- R = D/4
- Pente nécessaire
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Exercices
1.Poussée hydrostatiqueMoyen
Une vanne rectangulaire verticale de 3 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 2 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
d = 2 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Poussée hydrostatiqueDifficile
Une vanne rectangulaire verticale de 1 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de huile, avec son bord supérieur à 1 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
d = 1 mH = 3 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuité et BernoulliMoyen
L’eau circule dans une conduite horizontale qui se rétrécit de 200 mm à 100 mm. Dans la partie large, la pression vaut 180 kPa et la vitesse 2,25 m/s. En négligeant les pertes, trouvez la pression p2 dans la partie étroite.
d1 = 200 mmd2 = 100 mmp1 = 180 kPav1 = 2,25 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuité et BernoulliDifficile
L’eau monte dans une conduite qui se rétrécit de 100 mm à 75 mm en s’élevant de 7 m. En section 1, la pression vaut 150 kPa et la vitesse 2 m/s. En négligeant les pertes, trouvez la pression p2 en section 2.
d1 = 100 mmd2 = 75 mmp1 = 150 kPav1 = 2 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen
De l’eau s’écoule avec un débit de 75 L/s dans une conduite de 200 m de long et de diamètre intérieur 250 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,022 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement hf.
Q = 75 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile
Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 300 m de long, de diamètre intérieur 200 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,015. La surface de l’eau du réservoir supérieur est 14 m plus haut que celle du réservoir inférieur. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 4 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 10) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le débit Q en L/s.
Δz = 14 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompes et puissance de pompageMoyen
Lors d’un essai, une pompe débite 150 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 64 m tandis que son arbre absorbe 114,8 kW. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le rendement de la pompe η en pourcentage.
Q = 150 L/sH = 64 mPshaft = 114,8 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompes et puissance de pompageDifficile
Une pompe refoule 75 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 14 m plus haut. La conduite mesure 500 m de long, a un diamètre intérieur de 200 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,02 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 8 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le rendement de la pompe est de 65 %. Trouvez la puissance sur l’arbre Pshaft en kW.
Q = 75 L/sΔz = 14 mL = 500 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 8η = 65%
Pshaft = kW
9.Écoulement à surface libre (Manning)Moyen
Un canal trapézoïdal en gravier a une largeur au fond de 1,5 m et un fruit des berges de 3:1 (horizontal:vertical). L’eau s’écoule uniformément sur 1,4 m de profondeur. n de Manning = 0,025 et la pente du fond vaut S = 0,003. Trouvez le débit Q en m³/s.
b = 1,5 my = 1,4 mz = 3n = 0,025S = 0,003
Q = m³/s
10.Écoulement à surface libre (Manning)Difficile
Un collecteur en béton de diamètre intérieur 200 mm (n de Manning = 0,013) doit atteindre une vitesse d’autocurage de 1,2 m/s lorsqu’il coule tout juste plein. Trouvez la pente minimale S (en m/m).
D = 200 mmn = 0,013V = 1,2 m/s
S = m/m
3Solutions
1.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 309 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,5·9 = 309 kN
Réponse
F = 309 kN
2.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 64,75 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·2,5·3 = 64,75 kN
Réponse
F = 64,75 kN
3.Continuité et Bernoulli
Réponse: p2 = 142 kPa
Continuité et Bernoulli : pour un fluide incompressible, le débit est le même dans toutes les sections, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Le long d’une ligne de courant sans pertes, p + ½ρv² + ρgz est constant, donc là où le fluide va plus vite ou plus haut, sa pression est plus faible.
Continuité et Bernoulli
Travaillez en Pa, puis divisez par 1000 pour obtenir des kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 2,25·(200/100)² = 9 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2,25² − 9²)/1000 = −37,97 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 180 + (−37,97) = 142 kPa
Réponse
p2 = 142 kPa
4.Continuité et Bernoulli
Réponse: p2 = 77,01 kPa
Continuité et Bernoulli : pour un fluide incompressible, le débit est le même dans toutes les sections, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Le long d’une ligne de courant sans pertes, p + ½ρv² + ρgz est constant, donc là où le fluide va plus vite ou plus haut, sa pression est plus faible.
Continuité et Bernoulli
Travaillez en Pa, puis divisez par 1000 pour obtenir des kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 2·(100/75)² = 3,556 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2² − 3,556²)/1000 = −4,321 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·7/1000 = 68,67 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 150 + (−4,321) − 68,67 = 77,01 kPa
Réponse
p2 = 77,01 kPa
5.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: hf = 2,094 m
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Vitesse moyenne
A = π·0,25²/4 = 0,04909 m²
V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s
Hauteur cinétique
V²/(2g) = 1,528²/(2·9,81) = 0,119 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(200/0,25)·1,528²/(2·9,81) = 2,094 m
Réponse
hf = 2,094 m
6.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: Q = 87,76 L/s
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Coefficients de perte de charge
f·L/D = 0,015·300/0,2 = 22,5
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7
Équation de l’énergie
Les deux surfaces sont à l’air libre et pratiquement au repos ; tout Δz est donc perdu dans la conduite.
14 = (22,5 + 12,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·14/35,2) = 2,793 m/s
Débit
Q = V·π·D²/4 = 2,793·0,03142 = 0,08776 m³/s = 87,76 L/s
Réponse
Q = 87,76 L/s
7.Pompes et puissance de pompage
Réponse: η = 82,03 %
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Puissance hydraulique
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·64 = 94,18 kW
Rendement
η = Ph/Pshaft = 94,18/114,8 = 82,03%
Réponse
η = 82,03%
8.Pompes et puissance de pompage
Réponse: Pshaft = 34,92 kW
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Vitesse
V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s
V²/(2g) = 0,2905 m
Pertes de charge
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (50 + 8)·0,2905 = 16,85 m
Hauteur manométrique de la pompe
H = Δz + hL = 14 + 16,85 = 30,85 m
Puissance sur l’arbre
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,075·30,85/0,65 = 34,92 kW
Réponse
Pshaft = 34,92 kW
9.Écoulement à surface libre (Manning)
Réponse: Q = 14,7 m³/s
Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R2/3·S1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.
Géométrie
A = (b + z·y)·y = (1,5 + 3·1,4)·1,4 = 7,98 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 1,5 + 2·1,4·√(1 + 3²) = 10,35 m
R = A/P = 0,7707 m
Vitesse
V = (1/0,025)·0,77072/3·0,0031/2 = 1,842 m/s
Débit
Q = A·V = 7,98·1,842 = 14,7 m³/s
Réponse
Q = 14,7 m³/s
10.Écoulement à surface libre (Manning)
Réponse: S = 0,01321 m/m
Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R2/3·S1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.
Rayon hydraulique
R = D/4 = 0,2/4 = 0,05 m
Résoudre Manning pour S
S = (n·V/R2/3)² = (0,013·1,2/0,1357)² = 0,01321
Réponse
S = 0,01321
Cela correspond à une pente de 13,21 m par kilomètre.
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