Hydraulique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Poussée hydrostatique

Pression à une profondeur: p = ρgh
Force sur une paroi verticale: F = ρg·h_c·A
Centre de poussée: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectangle: I_c = bH³/12

Continuité et Bernoulli

Continuité: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Débit: Q = A·v
Aire du disque: A = πd²/4

Frottement en conduite et pertes de charge

Nombre de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régime d’écoulement: laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
Vitesse moyenne: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pertes de charge singulières: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valeurs typiques de K: entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
Chute de pression: Δp = ρ·g·h_f
Deux réservoirs à l’air libre: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sortie libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompes et puissance de pompage

Puissance hydraulique: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Puissance sur l’arbre: P_shaft = P_h/η_pump
Puissance électrique: P_el = P_shaft/η_motor
Hauteur manométrique de la pompe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pertes du réseau: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Écoulement à surface libre (Manning)

Formule de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Débit: Q = A·V
Rayon hydraulique: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rectangle: A = b·y, P = b + 2y
Trapèze (fruit des berges z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Conduite circulaire, pleine ou à moitié pleine: R = D/4
Pente nécessaire: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercices

1.Poussée hydrostatiqueMoyen

Une vanne rectangulaire verticale de 3 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 2 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 2 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Poussée hydrostatiqueDifficile

Une vanne rectangulaire verticale de 3 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau de mer, avec son bord supérieur à 3 m sous la surface. Trouvez la profondeur y_cp du centre de poussée sous la surface.

d = 3 mH = 2 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuité et BernoulliMoyen

L’eau circule dans une conduite horizontale qui se rétrécit de 75 mm à 40 mm. Dans la partie large, la pression vaut 190 kPa et la vitesse 3 m/s. En négligeant les pertes, trouvez la pression p₂ dans la partie étroite.

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 190 kPav₁ = 3 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuité et BernoulliDifficile

L’eau monte dans une conduite qui se rétrécit de 75 mm à 40 mm en s’élevant de 2 m. En section 1, la pression vaut 220 kPa et la vitesse 2,75 m/s. En négligeant les pertes, trouvez la pression p₂ en section 2.

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 220 kPav₁ = 2,75 m/sΔz = 2 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen

De l’eau s’écoule à une vitesse moyenne de 1 m/s dans une conduite de 800 m de long et de diamètre intérieur 250 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,03 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement h_f.

V = 1 m/sL = 800 mD = 250 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile

Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 100 m de long, de diamètre intérieur 250 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,025. La surface de l’eau du réservoir supérieur est 8 m plus haut que celle du réservoir inférieur. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 2 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 5) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le débit Q en L/s.

Δz = 8 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Pompes et puissance de pompageMoyen

Une pompe de rendement 70 % débite 15 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 64 m. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance sur l’arbre P_shaft nécessaire, en kW.

Q = 15 L/sH = 64 mη = 70%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pompes et puissance de pompageDifficile

Une pompe refoule 50 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 5 m plus haut. La conduite mesure 500 m de long, a un diamètre intérieur de 150 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,018 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 4 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le rendement de la pompe est de 65 %. Trouvez la puissance sur l’arbre P_shaft en kW.

Q = 50 L/sΔz = 5 mL = 500 mD = 150 mmf = 0,018ΣK = 4η = 65%

P_shaft = kW

9.Écoulement à surface libre (Manning)Moyen

Un canal trapézoïdal en béton brut a une largeur au fond de 2,5 m et un fruit des berges de 2:1 (horizontal:vertical). L’eau s’écoule uniformément sur 0,9 m de profondeur. n de Manning = 0,014 et la pente du fond vaut S = 0,005. Trouvez le débit Q en m³/s.

b = 2,5 my = 0,9 mz = 2n = 0,014S = 0,005

Q = m³/s

10.Écoulement à surface libre (Manning)Difficile

Un collecteur en béton de diamètre intérieur 450 mm (n de Manning = 0,013) doit atteindre une vitesse d’autocurage de 1,2 m/s lorsqu’il coule tout juste plein. Trouvez la pente minimale S (en m/m).

D = 450 mmn = 0,013V = 1,2 m/s

S = m/m

3Solutions

1.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 309 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·9 = 309 kN

Réponse

F = 309 kN

2.Poussée hydrostatique

Réponse: y_cp = 4,083 m

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·4·6 = 241,3 kN

Centre de poussée

La pression augmente avec la profondeur, donc la résultante agit sous le centre de gravité.

I_c = b·H³/12 = 3·2³/12 = 2 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4 + 2/(4·6) = 4,083 m

Réponse

y_cp = 4,083 m

3.Continuité et Bernoulli

Réponse: p₂ = 138,9 kPa

Continuité et Bernoulli : pour un fluide incompressible, le débit est le même dans toutes les sections, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Le long d’une ligne de courant sans pertes, p + ½ρv² + ρgz est constant, donc là où le fluide va plus vite ou plus haut, sa pression est plus faible.

Continuité et Bernoulli

Travaillez en Pa, puis divisez par 1000 pour obtenir des kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(75/40)² = 10,55 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 10,55²)/1000 = −51,12 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 190 + (−51,12) = 138,9 kPa

Réponse

p₂ = 138,9 kPa

4.Continuité et Bernoulli

Réponse: p₂ = 157,4 kPa

Continuité et Bernoulli

Travaillez en Pa, puis divisez par 1000 pour obtenir des kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,75·(75/40)² = 9,668 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,75² − 9,668²)/1000 = −42,95 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·2/1000 = 19,62 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 220 + (−42,95) − 19,62 = 157,4 kPa

Réponse

p₂ = 157,4 kPa

5.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: h_f = 4,893 m

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières h_m = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = h_f + h_m, perte de sortie K = 1 comprise.

Hauteur cinétique

V²/(2g) = 1²/(2·9,81) = 0,05097 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(800/0,25)·1²/(2·9,81) = 4,893 m

Réponse

h_f = 4,893 m

6.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: Q = 148,7 L/s

Coefficients de perte de charge

f·L/D = 0,025·100/0,25 = 10

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1

Équation de l’énergie

Les deux surfaces sont à l’air libre et pratiquement au repos ; tout Δz est donc perdu dans la conduite.

8 = (10 + 7,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·8/17,1) = 3,03 m/s

Débit

Q = V·π·D²/4 = 3,03·0,04909 = 0,1487 m³/s = 148,7 L/s

Réponse

Q = 148,7 L/s

7.Pompes et puissance de pompage

Réponse: P_shaft = 13,45 kW

Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : P_shaft = P_h/η_pump, et le moteur absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.

Puissance hydraulique

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·64 = 9,418 kW

Puissance sur l’arbre

P_shaft = P_h/η = 9,418/0,7 = 13,45 kW

Réponse

P_shaft = 13,45 kW

8.Pompes et puissance de pompage

Réponse: P_shaft = 23,48 kW

Vitesse

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Pertes de charge

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (60 + 4)·0,408 = 26,11 m

Hauteur manométrique de la pompe

H = Δz + h_L = 5 + 26,11 = 31,11 m

Puissance sur l’arbre

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·31,11/0,65 = 23,48 kW

Réponse

P_shaft = 23,48 kW

9.Écoulement à surface libre (Manning)

Réponse: Q = 13,8 m³/s

Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.

Géométrie

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 2·0,9)·0,9 = 3,87 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·0,9·√(1 + 2²) = 6,525 m

R = A/P = 0,5931 m

Vitesse

V = (1/0,014)·0,5931^2/3·0,005^1/2 = 3,565 m/s

Débit

Q = A·V = 3,87·3,565 = 13,8 m³/s

Réponse

Q = 13,8 m³/s

10.Écoulement à surface libre (Manning)

Réponse: S = 0,004481 m/m

Rayon hydraulique

R = D/4 = 0,45/4 = 0,1125 m

Résoudre Manning pour S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·1,2/0,233)² = 0,004481

Réponse

S = 0,004481

Cela correspond à une pente de 4,481 m par kilomètre.

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