Poussée hydrostatique
- Pression à une profondeur
- p = ρgh
- Force sur une paroi verticale
- F = ρg·hc·A
- Centre de poussée
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectangle
- Ic = bH³/12
Hydraulique : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Continuité et Bernoulli
- Continuité
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Débit
- Q = A·v
- Aire du disque
- A = πd²/4
Frottement en conduite et pertes de charge
- Nombre de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régime d’écoulement
- laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
- Vitesse moyenne
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pertes de charge singulières
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valeurs typiques de K
- entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
- Chute de pression
- Δp = ρ·g·hf
- Deux réservoirs à l’air libre
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sortie libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompes et puissance de pompage
- Puissance hydraulique
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Puissance sur l’arbre
- Pshaft = Ph/ηpump
- Puissance électrique
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Hauteur manométrique de la pompe
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pertes du réseau
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Écoulement à surface libre (Manning)
- Formule de Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Débit
- Q = A·V
- Rayon hydraulique
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rectangle
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapèze (fruit des berges z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Conduite circulaire, pleine ou à moitié pleine
- R = D/4
- Pente nécessaire
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Exercices
1.Poussée hydrostatiqueMoyen
Une vanne rectangulaire verticale de 1,5 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 2 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
d = 2 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Poussée hydrostatiqueDifficile
Une vanne rectangulaire verticale de 2 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de glycérine, avec son bord supérieur à 2,5 m sous la surface. Trouvez la profondeur ycp du centre de poussée sous la surface.
d = 2,5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuité et BernoulliMoyen
De l’eau s’écoule dans un venturimètre horizontal de diamètre d’entrée 200 mm et de diamètre au col 150 mm. La pression à l’entrée dépasse de 13 kPa celle au col. En négligeant les pertes, trouvez le débit Q.
d1 = 200 mmd2 = 150 mmp1 − p2 = 13 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Continuité et BernoulliDifficile
Un tuyau de 25 mm de diamètre intérieur siphonne l’eau d’un réservoir ouvert. Le point le plus haut C du tuyau est à 0,5 m au-dessus de la surface de l’eau, et la sortie (à l’air libre) est à 4 m sous la surface de l’eau. Négligez les pertes et prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le débit Q.
d = 25 mmzC = +0,5 mz2 = −4 mg = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen
De l’eau s’écoule avec un débit de 200 L/s dans une conduite de 100 m de long et de diamètre intérieur 300 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,02 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement hf.
Q = 200 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile
Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 100 m de long, de diamètre intérieur 300 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,015. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 3 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 0,2) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Quelle différence de niveau d’eau Δz entre les réservoirs donne un débit de 200 L/s ?
Q = 200 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 0,2Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pompes et puissance de pompageMoyen
Lors d’un essai, une pompe débite 15 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 34 m tandis que son arbre absorbe 6,1 kW. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le rendement de la pompe η en pourcentage.
Q = 15 L/sH = 34 mPshaft = 6,1 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompes et puissance de pompageDifficile
Une pompe refoule 15 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 13 m plus haut. La conduite mesure 150 m de long, a un diamètre intérieur de 100 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,015 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 8 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le rendement de la pompe est de 65 %. Trouvez la puissance sur l’arbre Pshaft en kW.
Q = 15 L/sΔz = 13 mL = 150 mD = 100 mmf = 0,015ΣK = 8η = 65%
Pshaft = kW
9.Écoulement à surface libre (Manning)Moyen
Un collecteur d’eaux pluviales en béton de diamètre intérieur 600 mm coule à moitié plein. n de Manning = 0,013 et la pente vaut S = 0,0015. Trouvez le débit Q en m³/s.
D = 600 mmn = 0,013S = 0,0015
Q = m³/s
10.Écoulement à surface libre (Manning)Difficile
Un canal trapézoïdal en terre propre de largeur au fond 1,5 m et de fruit des berges 1:1 (horizontal:vertical) doit transporter 1,1 m³/s en écoulement uniforme à une profondeur de 0,7 m. n de Manning = 0,022. Trouvez la pente du fond nécessaire S (en m/m).
Q = 1,1 m³/sb = 1,5 my = 0,7 mz = 1n = 0,022
S = m/m
3Solutions
1.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 36,79 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m
A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,5·1,5 = 36,79 kN
Réponse
F = 36,79 kN
2.Poussée hydrostatique
Réponse: ycp = 3,595 m
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 2,5 + 2/2 = 3,5 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·3,5·4 = 173 kN
Centre de poussée
La pression augmente avec la profondeur, donc la résultante agit sous le centre de gravité.
Ic = b·H³/12 = 2·2³/12 = 1,333 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3,5 + 1,333/(3,5·4) = 3,595 m
Réponse
ycp = 3,595 m
3.Continuité et Bernoulli
Réponse: Q = 109 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Continuité
v1 = v2·(150/200)² = 0,5625·v2
Bernoulli entre l’entrée et le col
La conduite est horizontale, donc seules la pression et la vitesse varient.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·13000/(1000·(1 − 0,3164))) = 6,167 m/s
v1 = 3,469 m/s
Débit
Q = A2·v2 = 0,01767·6,167 = 0,109 m³/s = 109 L/s
Réponse
Q = 109 L/s
4.Continuité et Bernoulli
Réponse: Q = 4,349 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Vitesse dans le tuyau
La surface et la sortie sont toutes deux à l’air libre, donc les termes de pression s’annulent.
v = √(2g·4) = √(2·9,81·4) = 8,859 m/s
Débit
Q = A·v = 0,0004909·8,859 = 0,004349 m³/s = 4,349 L/s
Réponse
Q = 4,349 L/s
5.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: hf = 2,72 m
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Vitesse moyenne
A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²
V = Q/A = 0,2/0,07069 = 2,829 m/s
Hauteur cinétique
V²/(2g) = 2,829²/(2·9,81) = 0,408 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(100/0,3)·2,829²/(2·9,81) = 2,72 m
Réponse
hf = 2,72 m
6.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: Δz = 3,101 m
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Vitesse
V = Q/A = 0,2/0,07069 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m
Coefficients de perte de charge
f·L/D = 0,015·100/0,3 = 5
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,6
Perte de charge totale
hf = 5·0,408 = 2,04 m
hm = 2,6·0,408 = 1,061 m
Δz = hf + hm = 3,101 m
Réponse
Δz = 3,101 m
7.Pompes et puissance de pompage
Réponse: η = 82,02 %
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Puissance hydraulique
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·34 = 5,003 kW
Rendement
η = Ph/Pshaft = 5,003/6,1 = 82,02%
Réponse
η = 82,02%
8.Pompes et puissance de pompage
Réponse: Pshaft = 4,227 kW
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Vitesse
V = Q/A = 0,015/0,007854 = 1,91 m/s
V²/(2g) = 0,1859 m
Pertes de charge
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22,5 + 8)·0,1859 = 5,67 m
Hauteur manométrique de la pompe
H = Δz + hL = 13 + 5,67 = 18,67 m
Puissance sur l’arbre
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,015·18,67/0,65 = 4,227 kW
Réponse
Pshaft = 4,227 kW
9.Écoulement à surface libre (Manning)
Réponse: Q = 0,1189 m³/s
Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R2/3·S1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.
Géométrie
A = 0,1414 m², R = D/4 = 0,15 m
Vitesse
V = (1/0,013)·0,152/3·0,00151/2 = 0,8411 m/s
Débit
Q = A·V = 0,1414·0,8411 = 0,1189 m³/s
Réponse
Q = 0,1189 m³/s
10.Écoulement à surface libre (Manning)
Réponse: S = 0,0007322 m/m
Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R2/3·S1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.
Géométrie
A = (b + z·y)·y = (1,5 + 1·0,7)·0,7 = 1,54 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 1,5 + 2·0,7·√(1 + 1²) = 3,48 m
R = A/P = 0,4425 m
Résoudre Manning pour S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,022·1,1/(1,54·0,5807) = 0,02706
S = 0,02706² = 0,0007322
Réponse
S = 0,0007322
Cela correspond à une pente de 0,7322 m par kilomètre.
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