Hydraulique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Poussée hydrostatique

Pression à une profondeur: p = ρgh
Force sur une paroi verticale: F = ρg·h_c·A
Centre de poussée: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectangle: I_c = bH³/12

Continuité et Bernoulli

Continuité: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Débit: Q = A·v
Aire du disque: A = πd²/4

Frottement en conduite et pertes de charge

Nombre de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régime d’écoulement: laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
Vitesse moyenne: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pertes de charge singulières: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valeurs typiques de K: entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
Chute de pression: Δp = ρ·g·h_f
Deux réservoirs à l’air libre: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sortie libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompes et puissance de pompage

Puissance hydraulique: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Puissance sur l’arbre: P_shaft = P_h/η_pump
Puissance électrique: P_el = P_shaft/η_motor
Hauteur manométrique de la pompe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pertes du réseau: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Écoulement à surface libre (Manning)

Formule de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Débit: Q = A·V
Rayon hydraulique: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rectangle: A = b·y, P = b + 2y
Trapèze (fruit des berges z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Conduite circulaire, pleine ou à moitié pleine: R = D/4
Pente nécessaire: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercices

1.Poussée hydrostatiqueMoyen

Une vanne rectangulaire verticale de 2 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 1,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 1,5 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Poussée hydrostatiqueDifficile

Une vanne rectangulaire verticale de 1 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de huile, avec son bord supérieur à 0,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 0,5 mH = 1 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuité et BernoulliMoyen

L’eau circule dans une conduite horizontale qui se rétrécit de 200 mm à 100 mm. Dans la partie large, la pression vaut 320 kPa et la vitesse 0,75 m/s. En négligeant les pertes, trouvez la pression p₂ dans la partie étroite.

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ = 320 kPav₁ = 0,75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuité et BernoulliDifficile

Un venturimètre horizontal (entrée 150 mm, col 100 mm) est parcouru par de l’eau. Un manomètre différentiel en U à mercure relié entre l’entrée et le col indique une dénivellation de 340 mm. Le coefficient de débit vaut 0,97. Trouvez le débit Q. Prenez ρ = 1000 kg/m³ pour l’eau, 13 600 kg/m³ pour le mercure et g = 9,81 m/s².

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmΔh = 340 mmC_d = 0,97ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen

De l’eau (ρ = 1000 kg/m³) s’écoule à 1,8 m/s dans une conduite horizontale de 50 m de long et de diamètre intérieur 50 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,03 et g = 9,81 m/s². Trouvez la chute de pression Δp le long de la conduite, en kPa.

V = 1,8 m/sL = 50 mD = 50 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile

Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 150 m de long, de diamètre intérieur 200 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,02. La surface de l’eau du réservoir supérieur est 12 m plus haut que celle du réservoir inférieur. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 2 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 5) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le débit Q en L/s.

Δz = 12 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Pompes et puissance de pompageMoyen

Une pompe débite 50 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 44 m. Le rendement de la pompe est de 65 % et le moteur électrique qui l’entraîne a un rendement de 88 %. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance électrique P_el absorbée par le moteur, en kW.

Q = 50 L/sH = 44 mη_pump = 65%η_motor = 88%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompes et puissance de pompageDifficile

Une pompe refoule 120 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 8 m plus haut. La conduite mesure 200 m de long, a un diamètre intérieur de 250 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,015 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 8 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le rendement de la pompe est de 78 %. Trouvez la puissance sur l’arbre P_shaft en kW.

Q = 120 L/sΔz = 8 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,015ΣK = 8η = 78%

P_shaft = kW

9.Écoulement à surface libre (Manning)Moyen

Un collecteur d’eaux pluviales en béton de diamètre intérieur 300 mm coule tout juste plein (en écoulement à surface libre, pas en charge). n de Manning = 0,013 et la pente vaut S = 0,003. Trouvez le débit Q en m³/s.

D = 300 mmn = 0,013S = 0,003

Q = m³/s

10.Écoulement à surface libre (Manning)Difficile

Un collecteur en béton de diamètre intérieur 375 mm (n de Manning = 0,013) doit atteindre une vitesse d’autocurage de 1,2 m/s lorsqu’il coule tout juste plein. Trouvez la pente minimale S (en m/m).

D = 375 mmn = 0,013V = 1,2 m/s

S = m/m

3Solutions

1.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 66,22 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·3 = 66,22 kN

Réponse

F = 66,22 kN

2.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 8,633 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·1·1 = 8,633 kN

Réponse

F = 8,633 kN

3.Continuité et Bernoulli

Réponse: p₂ = 315,8 kPa

Continuité et Bernoulli : pour un fluide incompressible, le débit est le même dans toutes les sections, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Le long d’une ligne de courant sans pertes, p + ½ρv² + ρgz est constant, donc là où le fluide va plus vite ou plus haut, sa pression est plus faible.

Continuité et Bernoulli

Travaillez en Pa, puis divisez par 1000 pour obtenir des kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,75·(200/100)² = 3 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,75² − 3²)/1000 = −4,219 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 320 + (−4,219) = 315,8 kPa

Réponse

p₂ = 315,8 kPa

4.Continuité et Bernoulli

Réponse: Q = 77,97 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Différence de pression d’après le manomètre

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,34 = 42026 Pa

Vitesse au col

La continuité et Bernoulli donnent ensemble la vitesse idéale au col.

β = 100/150 = 0,6667

v₂ = √(2·42026/(1000·(1 − 0,1975))) = 10,23 m/s

Débit réel

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,97·0,007854·10,23 = 0,07797 m³/s = 77,97 L/s

Réponse

Q = 77,97 L/s

5.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: Δp = 48,6 kPa

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières h_m = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = h_f + h_m, perte de sortie K = 1 comprise.

Perte de charge

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(50/0,05)·1,8²/(2·9,81) = 4,954 m

Chute de pression

La conduite est horizontale et la vitesse ne change pas ; l’équation de l’énergie se réduit donc à Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·4,954 = 48600 Pa = 48,6 kPa

Réponse

Δp = 48,6 kPa

6.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: Q = 102,5 L/s

Coefficients de perte de charge

f·L/D = 0,02·150/0,2 = 15

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1

Équation de l’énergie

Les deux surfaces sont à l’air libre et pratiquement au repos ; tout Δz est donc perdu dans la conduite.

12 = (15 + 7,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·12/22,1) = 3,264 m/s

Débit

Q = V·π·D²/4 = 3,264·0,03142 = 0,1025 m³/s = 102,5 L/s

Réponse

Q = 102,5 L/s

7.Pompes et puissance de pompage

Réponse: P_el = 37,73 kW

Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : P_shaft = P_h/η_pump, et le moteur absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.

Puissance hydraulique

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·44 = 21,58 kW

Puissance sur l’arbre

P_shaft = 21,58/0,65 = 33,2 kW

Puissance électrique

P_el = 33,2/0,88 = 37,73 kW

Réponse

P_el = 37,73 kW

8.Pompes et puissance de pompage

Réponse: P_shaft = 21,27 kW

Vitesse

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Pertes de charge

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12 + 8)·0,3046 = 6,092 m

Hauteur manométrique de la pompe

H = Δz + h_L = 8 + 6,092 = 14,09 m

Puissance sur l’arbre

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,12·14,09/0,78 = 21,27 kW

Réponse

P_shaft = 21,27 kW

9.Écoulement à surface libre (Manning)

Réponse: Q = 0,05297 m³/s

Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.

Géométrie

A = 0,07069 m², R = D/4 = 0,075 m

Vitesse

V = (1/0,013)·0,075^2/3·0,003^1/2 = 0,7493 m/s

Débit

Q = A·V = 0,07069·0,7493 = 0,05297 m³/s

Réponse

Q = 0,05297 m³/s

10.Écoulement à surface libre (Manning)

Réponse: S = 0,005714 m/m

Rayon hydraulique

R = D/4 = 0,375/4 = 0,09375 m

Résoudre Manning pour S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·1,2/0,2064)² = 0,005714

Réponse

S = 0,005714

Cela correspond à une pente de 5,714 m par kilomètre.

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