Poussée hydrostatique
- Pression à une profondeur
- p = ρgh
- Force sur une paroi verticale
- F = ρg·hc·A
- Centre de poussée
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectangle
- Ic = bH³/12
Hydraulique : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Continuité et Bernoulli
- Continuité
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Débit
- Q = A·v
- Aire du disque
- A = πd²/4
Frottement en conduite et pertes de charge
- Nombre de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régime d’écoulement
- laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
- Vitesse moyenne
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pertes de charge singulières
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valeurs typiques de K
- entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
- Chute de pression
- Δp = ρ·g·hf
- Deux réservoirs à l’air libre
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sortie libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompes et puissance de pompage
- Puissance hydraulique
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Puissance sur l’arbre
- Pshaft = Ph/ηpump
- Puissance électrique
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Hauteur manométrique de la pompe
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pertes du réseau
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Écoulement à surface libre (Manning)
- Formule de Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Débit
- Q = A·V
- Rayon hydraulique
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rectangle
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapèze (fruit des berges z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Conduite circulaire, pleine ou à moitié pleine
- R = D/4
- Pente nécessaire
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Exercices
1.Poussée hydrostatiqueMoyen
Une vanne rectangulaire verticale de 1,5 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 2,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
d = 2,5 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Poussée hydrostatiqueDifficile
Une vanne rectangulaire verticale de 1 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de huile, avec son bord supérieur à 2,5 m sous la surface. Trouvez la profondeur ycp du centre de poussée sous la surface.
d = 2,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuité et BernoulliMoyen
Un tube de Pitot statique dans une conduite d’eau indique une différence de 13 kPa entre la pression d’arrêt et la pression statique. Trouvez la vitesse de l’eau v à l’extrémité du tube.
p0 − p = 13 kPaρ = 1000 kg/m³
v = m/s
4.Continuité et BernoulliDifficile
Un venturimètre horizontal (entrée 80 mm, col 40 mm) est parcouru par de l’eau. Un manomètre différentiel en U à mercure relié entre l’entrée et le col indique une dénivellation de 310 mm. Le coefficient de débit vaut 0,96. Trouvez le débit Q. Prenez ρ = 1000 kg/m³ pour l’eau, 13 600 kg/m³ pour le mercure et g = 9,81 m/s².
d1 = 80 mmd2 = 40 mmΔh = 310 mmCd = 0,96ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen
De l’eau s’écoule à une vitesse moyenne de 1,5 m/s dans une conduite de 100 m de long et de diamètre intérieur 300 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,018 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement hf.
V = 1,5 m/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile
Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 150 m de long, de diamètre intérieur 200 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,015. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 2 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 0,2) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Quelle différence de niveau d’eau Δz entre les réservoirs donne un débit de 80 L/s ?
Q = 80 L/sL = 150 mD = 200 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 0,2Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pompes et puissance de pompageMoyen
Une pompe de rendement 80 % débite 50 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 62 m. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance sur l’arbre Pshaft nécessaire, en kW.
Q = 50 L/sH = 62 mη = 80%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pompes et puissance de pompageDifficile
Une pompe refoule 80 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 12 m plus haut. La conduite mesure 300 m de long, a un diamètre intérieur de 200 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,018 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 5 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.
Q = 80 L/sΔz = 12 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 5
H = m
9.Écoulement à surface libre (Manning)Moyen
Un canal trapézoïdal en terre enherbée a une largeur au fond de 1,5 m et un fruit des berges de 2:1 (horizontal:vertical). L’eau s’écoule uniformément sur 1,6 m de profondeur. n de Manning = 0,03 et la pente du fond vaut S = 0,002. Trouvez le débit Q en m³/s.
b = 1,5 my = 1,6 mz = 2n = 0,03S = 0,002
Q = m³/s
10.Écoulement à surface libre (Manning)Difficile
Un collecteur en béton de diamètre intérieur 250 mm (n de Manning = 0,013) doit atteindre une vitesse d’autocurage de 1 m/s lorsqu’il coule tout juste plein. Trouvez la pente minimale S (en m/m).
D = 250 mmn = 0,013V = 1 m/s
S = m/m
3Solutions
1.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 176,6 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m
A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4·4,5 = 176,6 kN
Réponse
F = 176,6 kN
2.Poussée hydrostatique
Réponse: ycp = 3,889 m
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m
A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·3,75·2,5 = 80,93 kN
Centre de poussée
La pression augmente avec la profondeur, donc la résultante agit sous le centre de gravité.
Ic = b·H³/12 = 1·2,5³/12 = 1,302 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3,75 + 1,302/(3,75·2,5) = 3,889 m
Réponse
ycp = 3,889 m
3.Continuité et Bernoulli
Réponse: v = 5,099 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Bernoulli jusqu’au point d’arrêt
L’écoulement s’arrête à l’extrémité du tube, donc son énergie cinétique apparaît sous forme de surpression.
p0 − p = ½ρv²
v = √(2·13000/1000) = 5,099 m/s
Réponse
v = 5,099 m/s
4.Continuité et Bernoulli
Réponse: Q = 10,91 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Différence de pression d’après le manomètre
Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,31 = 38318 Pa
Vitesse au col
La continuité et Bernoulli donnent ensemble la vitesse idéale au col.
β = 40/80 = 0,5
v2 = √(2·38318/(1000·(1 − 0,0625))) = 9,041 m/s
Débit réel
Q = Cd·A2·v2 = 0,96·0,001257·9,041 = 0,01091 m³/s = 10,91 L/s
Réponse
Q = 10,91 L/s
5.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: hf = 0,6881 m
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Hauteur cinétique
V²/(2g) = 1,5²/(2·9,81) = 0,1147 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(100/0,3)·1,5²/(2·9,81) = 0,6881 m
Réponse
hf = 0,6881 m
6.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: Δz = 4,478 m
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Vitesse
V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m
Coefficients de perte de charge
f·L/D = 0,015·150/0,2 = 11,25
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,3
Perte de charge totale
hf = 11,25·0,3305 = 3,718 m
hm = 2,3·0,3305 = 0,7602 m
Δz = hf + hm = 4,478 m
Réponse
Δz = 4,478 m
7.Pompes et puissance de pompage
Réponse: Pshaft = 38,01 kW
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Puissance hydraulique
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·62 = 30,41 kW
Puissance sur l’arbre
Pshaft = Ph/η = 30,41/0,8 = 38,01 kW
Réponse
Pshaft = 38,01 kW
8.Pompes et puissance de pompage
Réponse: H = 22,58 m
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Vitesse
V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m
Pertes de charge
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (27 + 5)·0,3305 = 10,58 m
Hauteur manométrique de la pompe
Les deux surfaces sont à l’air libre et pratiquement au repos ; les termes de pression et de vitesse disparaissent donc.
H = Δz + hL = 12 + 10,58 = 22,58 m
Réponse
H = 22,58 m
9.Écoulement à surface libre (Manning)
Réponse: Q = 10,21 m³/s
Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R2/3·S1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.
Géométrie
A = (b + z·y)·y = (1,5 + 2·1,6)·1,6 = 7,52 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 1,5 + 2·1,6·√(1 + 2²) = 8,655 m
R = A/P = 0,8688 m
Vitesse
V = (1/0,03)·0,86882/3·0,0021/2 = 1,357 m/s
Débit
Q = A·V = 7,52·1,357 = 10,21 m³/s
Réponse
Q = 10,21 m³/s
10.Écoulement à surface libre (Manning)
Réponse: S = 0,006814 m/m
Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R2/3·S1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.
Rayon hydraulique
R = D/4 = 0,25/4 = 0,0625 m
Résoudre Manning pour S
S = (n·V/R2/3)² = (0,013·1/0,1575)² = 0,006814
Réponse
S = 0,006814
Cela correspond à une pente de 6,814 m par kilomètre.
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