Hydraulique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Poussée hydrostatique

Pression à une profondeur: p = ρgh
Force sur une paroi verticale: F = ρg·h_c·A
Centre de poussée: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectangle: I_c = bH³/12

Continuité et Bernoulli

Continuité: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Débit: Q = A·v
Aire du disque: A = πd²/4

Frottement en conduite et pertes de charge

Nombre de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régime d’écoulement: laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
Vitesse moyenne: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pertes de charge singulières: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valeurs typiques de K: entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
Chute de pression: Δp = ρ·g·h_f
Deux réservoirs à l’air libre: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sortie libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompes et puissance de pompage

Puissance hydraulique: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Puissance sur l’arbre: P_shaft = P_h/η_pump
Puissance électrique: P_el = P_shaft/η_motor
Hauteur manométrique de la pompe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pertes du réseau: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Écoulement à surface libre (Manning)

Formule de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Débit: Q = A·V
Rayon hydraulique: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rectangle: A = b·y, P = b + 2y
Trapèze (fruit des berges z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Conduite circulaire, pleine ou à moitié pleine: R = D/4
Pente nécessaire: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercices

1.Poussée hydrostatiqueMoyen

Une vanne rectangulaire verticale de 1,5 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 2,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Poussée hydrostatiqueDifficile

Une vanne rectangulaire verticale de 3 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de huile, avec son bord supérieur à 2 m sous la surface. Trouvez la profondeur y_cp du centre de poussée sous la surface.

d = 2 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuité et BernoulliMoyen

L’eau circule dans une conduite horizontale qui se rétrécit de 200 mm à 100 mm. Dans la partie large, la pression vaut 400 kPa et la vitesse 1 m/s. En négligeant les pertes, trouvez la pression p₂ dans la partie étroite.

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ = 400 kPav₁ = 1 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuité et BernoulliDifficile

L’eau monte dans une conduite qui se rétrécit de 75 mm à 50 mm en s’élevant de 1 m. En section 1, la pression vaut 310 kPa et la vitesse 2,25 m/s. En négligeant les pertes, trouvez la pression p₂ en section 2.

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 310 kPav₁ = 2,25 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen

De l’eau s’écoule avec un débit de 60 L/s dans une conduite de 300 m de long et de diamètre intérieur 250 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,02 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement h_f.

Q = 60 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile

Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 100 m de long, de diamètre intérieur 100 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,02. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 4 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 2) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Quelle différence de niveau d’eau Δz entre les réservoirs donne un débit de 8 L/s ?

Q = 8 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompes et puissance de pompageMoyen

Lors d’un essai, une pompe débite 15 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 14 m tandis que son arbre absorbe 2,4 kW. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le rendement de la pompe η en pourcentage.

Q = 15 L/sH = 14 mP_shaft = 2,4 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Pompes et puissance de pompageDifficile

Une pompe refoule 100 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 9 m plus haut. La conduite mesure 100 m de long, a un diamètre intérieur de 250 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,025 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 4 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le réservoir supérieur est fermé et l’air au-dessus de l’eau est à une pression relative de 200 kPa. Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.

Q = 100 L/sΔz = 9 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,025ΣK = 4p_tank = 200 kPa

H = m

9.Écoulement à surface libre (Manning)Moyen

Un collecteur d’eaux pluviales en béton de diamètre intérieur 750 mm coule à moitié plein. n de Manning = 0,013 et la pente vaut S = 0,005. Trouvez le débit Q en m³/s.

D = 750 mmn = 0,013S = 0,005

Q = m³/s

10.Écoulement à surface libre (Manning)Difficile

Un canal trapézoïdal en gravier de largeur au fond 3,5 m et de fruit des berges 1,5:1 (horizontal:vertical) doit transporter 7,5 m³/s en écoulement uniforme à une profondeur de 0,8 m. n de Manning = 0,025. Trouvez la pente du fond nécessaire S (en m/m).

Q = 7,5 m³/sb = 3,5 my = 0,8 mz = 1,5n = 0,025

S = m/m

3Solutions

1.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 138 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·3,75 = 138 kN

Réponse

F = 138 kN

2.Poussée hydrostatique

Réponse: y_cp = 3,41 m

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·3,25·7,5 = 210,4 kN

Centre de poussée

La pression augmente avec la profondeur, donc la résultante agit sous le centre de gravité.

I_c = b·H³/12 = 3·2,5³/12 = 3,906 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,25 + 3,906/(3,25·7,5) = 3,41 m

Réponse

y_cp = 3,41 m

3.Continuité et Bernoulli

Réponse: p₂ = 392,5 kPa

Continuité et Bernoulli : pour un fluide incompressible, le débit est le même dans toutes les sections, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Le long d’une ligne de courant sans pertes, p + ½ρv² + ρgz est constant, donc là où le fluide va plus vite ou plus haut, sa pression est plus faible.

Continuité et Bernoulli

Travaillez en Pa, puis divisez par 1000 pour obtenir des kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(200/100)² = 4 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 4²)/1000 = −7,5 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 400 + (−7,5) = 392,5 kPa

Réponse

p₂ = 392,5 kPa

4.Continuité et Bernoulli

Réponse: p₂ = 289,9 kPa

Continuité et Bernoulli

Travaillez en Pa, puis divisez par 1000 pour obtenir des kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,25·(75/50)² = 5,063 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,25² − 5,063²)/1000 = −10,28 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·1/1000 = 9,81 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 310 + (−10,28) − 9,81 = 289,9 kPa

Réponse

p₂ = 289,9 kPa

5.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: h_f = 1,828 m

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières h_m = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = h_f + h_m, perte de sortie K = 1 comprise.

Vitesse moyenne

A = π·0,25²/4 = 0,04909 m²

V = Q/A = 0,06/0,04909 = 1,222 m/s

Hauteur cinétique

V²/(2g) = 1,222²/(2·9,81) = 0,07615 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(300/0,25)·1,222²/(2·9,81) = 1,828 m

Réponse

h_f = 1,828 m

6.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: Δz = 1,306 m

Vitesse

V = Q/A = 0,008/0,007854 = 1,019 m/s

V²/(2g) = 0,05288 m

Coefficients de perte de charge

f·L/D = 0,02·100/0,1 = 20

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

Perte de charge totale

h_f = 20·0,05288 = 1,058 m

h_m = 4,7·0,05288 = 0,2485 m

Δz = h_f + h_m = 1,306 m

Réponse

Δz = 1,306 m

7.Pompes et puissance de pompage

Réponse: η = 85,84 %

Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : P_shaft = P_h/η_pump, et le moteur absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.

Puissance hydraulique

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·14 = 2,06 kW

Rendement

η = P_h/P_shaft = 2,06/2,4 = 85,84%

Réponse

η = 85,84%

8.Pompes et puissance de pompage

Réponse: H = 32,35 m

Vitesse

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Pertes de charge

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10 + 4)·0,2115 = 2,961 m

Hauteur de pression

p/(ρ·g) = 200000/(1000·9,81) = 20,39 m

Hauteur manométrique de la pompe

Les deux surfaces sont pratiquement au repos ; il n’y a donc pas de terme de hauteur cinétique.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 9 + 20,39 + 2,961 = 32,35 m

Réponse

H = 32,35 m

9.Écoulement à surface libre (Manning)

Réponse: Q = 0,3936 m³/s

Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.

Géométrie

A = 0,2209 m², R = D/4 = 0,1875 m

Vitesse

V = (1/0,013)·0,1875^2/3·0,005^1/2 = 1,782 m/s

Débit

Q = A·V = 0,2209·1,782 = 0,3936 m³/s

Réponse

Q = 0,3936 m³/s

10.Écoulement à surface libre (Manning)

Réponse: S = 0,005037 m/m

Géométrie

A = (b + z·y)·y = (3,5 + 1,5·0,8)·0,8 = 3,76 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·0,8·√(1 + 1,5²) = 6,384 m

R = A/P = 0,5889 m

Résoudre Manning pour S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·7,5/(3,76·0,7026) = 0,07097

S = 0,07097² = 0,005037

Réponse

S = 0,005037

Cela correspond à une pente de 5,037 m par kilomètre.

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