Hydraulique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Poussée hydrostatique

Pression à une profondeur: p = ρgh
Force sur une paroi verticale: F = ρg·h_c·A
Centre de poussée: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectangle: I_c = bH³/12

Continuité et Bernoulli

Continuité: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Débit: Q = A·v
Aire du disque: A = πd²/4

Frottement en conduite et pertes de charge

Nombre de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régime d’écoulement: laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
Vitesse moyenne: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pertes de charge singulières: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valeurs typiques de K: entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
Chute de pression: Δp = ρ·g·h_f
Deux réservoirs à l’air libre: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sortie libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompes et puissance de pompage

Puissance hydraulique: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Puissance sur l’arbre: P_shaft = P_h/η_pump
Puissance électrique: P_el = P_shaft/η_motor
Hauteur manométrique de la pompe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pertes du réseau: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Écoulement à surface libre (Manning)

Formule de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Débit: Q = A·V
Rayon hydraulique: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rectangle: A = b·y, P = b + 2y
Trapèze (fruit des berges z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Conduite circulaire, pleine ou à moitié pleine: R = D/4
Pente nécessaire: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercices

1.Poussée hydrostatiqueMoyen

Une vanne rectangulaire verticale de 1,5 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 2,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 2,5 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Poussée hydrostatiqueDifficile

Une vanne rectangulaire verticale de 2 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de glycérine, avec son bord supérieur à 2 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 2 mH = 1 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuité et BernoulliMoyen

Un tube de Pitot statique dans une conduite d’eau indique une différence de 7 kPa entre la pression d’arrêt et la pression statique. Trouvez la vitesse de l’eau v à l’extrémité du tube.

p₀ − p = 7 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

4.Continuité et BernoulliDifficile

La buse d’une fontaine est dirigée verticalement vers le haut. Juste sous la buse, la conduite d’alimentation a un diamètre de 75 mm et une pression relative de 40 kPa. Le diamètre de sortie de la buse est de 40 mm et la différence de hauteur à travers la buse est négligeable. En négligeant les pertes et la résistance de l’air, trouvez la hauteur H à laquelle le jet s’élève au-dessus de la buse. Prenez g = 9,81 m/s².

d₁ = 75 mmp₁ = 40 kPa (relative)d₂ = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen

De l’eau (ρ = 1000 kg/m³) s’écoule à 1,3 m/s dans une conduite horizontale de 300 m de long et de diamètre intérieur 50 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,022 et g = 9,81 m/s². Trouvez la chute de pression Δp le long de la conduite, en kPa.

V = 1,3 m/sL = 300 mD = 50 mmf = 0,022ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile

Une conduite de 300 m de long et de diamètre intérieur 200 mm (coefficient de frottement de Darcy f = 0,018) part d’un réservoir à l’air libre et débouche à l’air libre en jet. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 4 coudes (K = 0,3 chacun) et une vanne (K = 5). Prenez g = 9,81 m/s². De combien H la surface du réservoir doit-elle être au-dessus de la sortie de la conduite pour un débit de 60 L/s ?

Q = 60 L/sL = 300 mD = 200 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5

H = m

7.Pompes et puissance de pompageMoyen

Une pompe de rendement 75 % débite 25 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 32 m. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance sur l’arbre P_shaft nécessaire, en kW.

Q = 25 L/sH = 32 mη = 75%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pompes et puissance de pompageDifficile

Une pompe refoule 75 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 6 m plus haut. La conduite mesure 600 m de long, a un diamètre intérieur de 250 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,025 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 8 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le réservoir supérieur est fermé et l’air au-dessus de l’eau est à une pression relative de 150 kPa. Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.

Q = 75 L/sΔz = 6 mL = 600 mD = 250 mmf = 0,025ΣK = 8p_tank = 150 kPa

H = m

9.Écoulement à surface libre (Manning)Moyen

Un canal trapézoïdal en terre enherbée a une largeur au fond de 6 m et un fruit des berges de 1:1 (horizontal:vertical). L’eau s’écoule uniformément sur 0,6 m de profondeur. n de Manning = 0,03 et la pente du fond vaut S = 0,002. Trouvez le débit Q en m³/s.

b = 6 my = 0,6 mz = 1n = 0,03S = 0,002

Q = m³/s

10.Écoulement à surface libre (Manning)Difficile

Un canal trapézoïdal en béton lissé de largeur au fond 5,5 m et de fruit des berges 1:1 (horizontal:vertical) doit transporter 20 m³/s en écoulement uniforme à une profondeur de 0,8 m. n de Manning = 0,012. Trouvez la pente du fond nécessaire S (en m/m).

Q = 20 m³/sb = 5,5 my = 0,8 mz = 1n = 0,012

S = m/m

3Solutions

1.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 44,15 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·1,5 = 44,15 kN

Réponse

F = 44,15 kN

2.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 61,8 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·2,5·2 = 61,8 kN

Réponse

F = 61,8 kN

3.Continuité et Bernoulli

Réponse: v = 3,742 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli jusqu’au point d’arrêt

L’écoulement s’arrête à l’extrémité du tube, donc son énergie cinétique apparaît sous forme de surpression.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·7000/1000) = 3,742 m/s

Réponse

v = 3,742 m/s

4.Continuité et Bernoulli

Réponse: H = 4,436 m

Vitesse de sortie

β = 40/75 = 0,5333

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·40000/(1000·0,9191)) = 9,33 m/s

Hauteur du jet

Bernoulli le long du jet : au sommet, la vitesse est nulle et la pression est de nouveau atmosphérique.

H = v₂²/(2g) = 9,33²/(2·9,81) = 4,436 m

Réponse

H = 4,436 m

5.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: Δp = 111,5 kPa

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières h_m = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = h_f + h_m, perte de sortie K = 1 comprise.

Perte de charge

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(300/0,05)·1,3²/(2·9,81) = 11,37 m

Chute de pression

La conduite est horizontale et la vitesse ne change pas ; l’équation de l’énergie se réduit donc à Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·11,37 = 111540 Pa = 111,5 kPa

Réponse

Δp = 111,5 kPa

6.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: H = 6,451 m

Vitesse

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Coefficients de perte de charge

f·L/D = 0,018·300/0,2 = 27

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 = 6,7

Équation de l’énergie

Le jet de sortie emporte encore sa hauteur cinétique ; ce n’est pas une perte, mais elle doit être fournie.

H = (1 + 27 + 6,7)·0,1859 = 6,451 m

Réponse

H = 6,451 m

7.Pompes et puissance de pompage

Réponse: P_shaft = 10,46 kW

Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : P_shaft = P_h/η_pump, et le moteur absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.

Puissance hydraulique

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·32 = 7,848 kW

Puissance sur l’arbre

P_shaft = P_h/η = 7,848/0,75 = 10,46 kW

Réponse

P_shaft = 10,46 kW

8.Pompes et puissance de pompage

Réponse: H = 29,38 m

Vitesse

V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

Pertes de charge

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (60 + 8)·0,119 = 8,091 m

Hauteur de pression

p/(ρ·g) = 150000/(1000·9,81) = 15,29 m

Hauteur manométrique de la pompe

Les deux surfaces sont pratiquement au repos ; il n’y a donc pas de terme de hauteur cinétique.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 6 + 15,29 + 8,091 = 29,38 m

Réponse

H = 29,38 m

9.Écoulement à surface libre (Manning)

Réponse: Q = 3,79 m³/s

Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.

Géométrie

A = (b + z·y)·y = (6 + 1·0,6)·0,6 = 3,96 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·0,6·√(1 + 1²) = 7,697 m

R = A/P = 0,5145 m

Vitesse

V = (1/0,03)·0,5145^2/3·0,002^1/2 = 0,9571 m/s

Débit

Q = A·V = 3,96·0,9571 = 3,79 m³/s

Réponse

Q = 3,79 m³/s

10.Écoulement à surface libre (Manning)

Réponse: S = 0,004033 m/m

Géométrie

A = (b + z·y)·y = (5,5 + 1·0,8)·0,8 = 5,04 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5,5 + 2·0,8·√(1 + 1²) = 7,763 m

R = A/P = 0,6493 m

Résoudre Manning pour S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·20/(5,04·0,7498) = 0,06351

S = 0,06351² = 0,004033

Réponse

S = 0,004033

Cela correspond à une pente de 4,033 m par kilomètre.

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