Hydraulique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Poussée hydrostatique

Pression à une profondeur: p = ρgh
Force sur une paroi verticale: F = ρg·h_c·A
Centre de poussée: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectangle: I_c = bH³/12

Continuité et Bernoulli

Continuité: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Débit: Q = A·v
Aire du disque: A = πd²/4

Frottement en conduite et pertes de charge

Nombre de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régime d’écoulement: laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
Vitesse moyenne: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pertes de charge singulières: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valeurs typiques de K: entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
Chute de pression: Δp = ρ·g·h_f
Deux réservoirs à l’air libre: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sortie libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompes et puissance de pompage

Puissance hydraulique: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Puissance sur l’arbre: P_shaft = P_h/η_pump
Puissance électrique: P_el = P_shaft/η_motor
Hauteur manométrique de la pompe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pertes du réseau: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Écoulement à surface libre (Manning)

Formule de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Débit: Q = A·V
Rayon hydraulique: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rectangle: A = b·y, P = b + 2y
Trapèze (fruit des berges z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Conduite circulaire, pleine ou à moitié pleine: R = D/4
Pente nécessaire: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercices

1.Poussée hydrostatiqueMoyen

Une vanne rectangulaire verticale de 1,5 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 4 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 4 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Poussée hydrostatiqueDifficile

Une vanne rectangulaire verticale de 1 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 2,5 m sous la surface. Trouvez la profondeur y_cp du centre de poussée sous la surface.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuité et BernoulliMoyen

De l’eau s’écoule dans un venturimètre horizontal de diamètre d’entrée 200 mm et de diamètre au col 100 mm. La pression à l’entrée dépasse de 37 kPa celle au col. En négligeant les pertes, trouvez le débit Q.

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ − p₂ = 37 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Continuité et BernoulliDifficile

Un réservoir d’eau fermé contient de l’air comprimé au-dessus de l’eau à une pression relative de 170 kPa. L’eau sort à l’air libre par un orifice de 30 mm de diamètre, situé 4 m sous la surface de l’eau. En négligeant les pertes, trouvez le débit Q. Prenez g = 9,81 m/s².

p_air = 170 kPa (relative)h = 4 md = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen

De l’eau (ρ = 1000 kg/m³) s’écoule à 1,6 m/s dans une conduite horizontale de 400 m de long et de diamètre intérieur 200 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,02 et g = 9,81 m/s². Trouvez la chute de pression Δp le long de la conduite, en kPa.

V = 1,6 m/sL = 400 mD = 200 mmf = 0,02ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile

Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 200 m de long, de diamètre intérieur 250 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,015. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 2 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 5) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Quelle différence de niveau d’eau Δz entre les réservoirs donne un débit de 100 L/s ?

Q = 100 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompes et puissance de pompageMoyen

Une pompe débite 100 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 56 m. Le rendement de la pompe est de 82 % et le moteur électrique qui l’entraîne a un rendement de 94 %. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance électrique P_el absorbée par le moteur, en kW.

Q = 100 L/sH = 56 mη_pump = 82%η_motor = 94%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompes et puissance de pompageDifficile

Une pompe refoule 50 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 33 m plus haut. La conduite mesure 400 m de long, a un diamètre intérieur de 150 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,018 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 8 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le rendement de la pompe est de 85 %. Trouvez la puissance sur l’arbre P_shaft en kW.

Q = 50 L/sΔz = 33 mL = 400 mD = 150 mmf = 0,018ΣK = 8η = 85%

P_shaft = kW

9.Écoulement à surface libre (Manning)Moyen

Un collecteur d’eaux pluviales en béton de diamètre intérieur 600 mm coule à moitié plein. n de Manning = 0,013 et la pente vaut S = 0,005. Trouvez le débit Q en m³/s.

D = 600 mmn = 0,013S = 0,005

Q = m³/s

10.Écoulement à surface libre (Manning)Difficile

Un canal rectangulaire en terre enherbée de 3,5 m de large doit transporter 3,9 m³/s en écoulement uniforme à une profondeur de 1 m. n de Manning = 0,03. Trouvez la pente du fond nécessaire S (en m/m).

Q = 3,9 m³/sb = 3,5 my = 1 mn = 0,03

S = m/m

3Solutions

1.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 193,1 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5,25·3,75 = 193,1 kN

Réponse

F = 193,1 kN

2.Poussée hydrostatique

Réponse: y_cp = 3,889 m

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·2,5 = 91,97 kN

Centre de poussée

La pression augmente avec la profondeur, donc la résultante agit sous le centre de gravité.

I_c = b·H³/12 = 1·2,5³/12 = 1,302 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,75 + 1,302/(3,75·2,5) = 3,889 m

Réponse

y_cp = 3,889 m

3.Continuité et Bernoulli

Réponse: Q = 69,78 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Continuité

v₁ = v₂·(100/200)² = 0,25·v₂

Bernoulli entre l’entrée et le col

La conduite est horizontale, donc seules la pression et la vitesse varient.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·37000/(1000·(1 − 0,0625))) = 8,884 m/s

v₁ = 2,221 m/s

Débit

Q = A₂·v₂ = 0,007854·8,884 = 0,06978 m³/s = 69,78 L/s

Réponse

Q = 69,78 L/s

4.Continuité et Bernoulli

Réponse: Q = 14,46 L/s

Bernoulli de la surface au jet

v = √(2·(170000/1000 + 9,81·4)) = 20,46 m/s

Débit

Q = A·v = 0,0007069·20,46 = 0,01446 m³/s = 14,46 L/s

Réponse

Q = 14,46 L/s

5.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: Δp = 51,2 kPa

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières h_m = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = h_f + h_m, perte de sortie K = 1 comprise.

Perte de charge

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(400/0,2)·1,6²/(2·9,81) = 5,219 m

Chute de pression

La conduite est horizontale et la vitesse ne change pas ; l’équation de l’énergie se réduit donc à Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·5,219 = 51200 Pa = 51,2 kPa

Réponse

Δp = 51,2 kPa

6.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: Δz = 4,04 m

Vitesse

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Coefficients de perte de charge

f·L/D = 0,015·200/0,25 = 12

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1

Perte de charge totale

h_f = 12·0,2115 = 2,538 m

h_m = 7,1·0,2115 = 1,502 m

Δz = h_f + h_m = 4,04 m

Réponse

Δz = 4,04 m

7.Pompes et puissance de pompage

Réponse: P_el = 71,27 kW

Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : P_shaft = P_h/η_pump, et le moteur absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.

Puissance hydraulique

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·56 = 54,94 kW

Puissance sur l’arbre

P_shaft = 54,94/0,82 = 67 kW

Puissance électrique

P_el = 67/0,94 = 71,27 kW

Réponse

P_el = 71,27 kW

8.Pompes et puissance de pompage

Réponse: P_shaft = 32,23 kW

Vitesse

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Pertes de charge

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (48 + 8)·0,408 = 22,85 m

Hauteur manométrique de la pompe

H = Δz + h_L = 33 + 22,85 = 55,85 m

Puissance sur l’arbre

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·55,85/0,85 = 32,23 kW

Réponse

P_shaft = 32,23 kW

9.Écoulement à surface libre (Manning)

Réponse: Q = 0,2171 m³/s

Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.

Géométrie

A = 0,1414 m², R = D/4 = 0,15 m

Vitesse

V = (1/0,013)·0,15^2/3·0,005^1/2 = 1,536 m/s

Débit

Q = A·V = 0,1414·1,536 = 0,2171 m³/s

Réponse

Q = 0,2171 m³/s

10.Écoulement à surface libre (Manning)

Réponse: S = 0,002042 m/m

Géométrie

A = b·y = 3,5·1 = 3,5 m²

P = b + 2y = 3,5 + 2·1 = 5,5 m

R = A/P = 0,6364 m

Résoudre Manning pour S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·3,9/(3,5·0,7398) = 0,04518

S = 0,04518² = 0,002042

Réponse

S = 0,002042

Cela correspond à une pente de 2,042 m par kilomètre.

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