Investissements et évaluation : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Tu as besoin de €15 000 dans 4 ans. Un compte rapporte 6 % par an, capitalisés mensuellement. Combien dois-tu déposer aujourd'hui ? Calcule la valeur actuelle PV.

FV = €15 0006% / 12n = 4

PV = €

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Vous versez €5 000 au début de chaque année pendant 24 ans, le premier versement ayant lieu aujourd’hui. Le compte rapporte 4 % par an. Combien y a-t-il sur le compte à la fin de l’année 24 ? Trouvez FV.

A = €5 000i = 4%n = 24

FV = €

3.Prix et rendement des obligationsMoyen

Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 2% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 8 ans. Le taux de rendement actuariel est de 3,5% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.

F = €1 000coupon = 2%YTM = 3,5%n = 8

P = €

4.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 5% arrive à échéance dans 6 ans et se vend €1 110. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.

F = €1 000coupon = 5%n = 6P = €1 110

YTM = %

5.CAPM et WACCMoyen

Une action de bêta 1,5 a un rendement exigé de 11,5%. Le taux sans risque est de 2,5%. Quel rendement attendu du marché r_m le CAPM implique-t-il ?

β = 1,5r_e = 11,5%r_f = 2,5%

r_m = %

6.CAPM et WACCDifficile

Les actions d’une entreprise ont un bêta de 1,5 pour son ratio dette/capitaux propres actuel de 0,4. Elle prévoit de porter ce ratio à 0,75. Le taux d’imposition est de 20%, le taux sans risque de 2,5% et la prime de risque du marché de 7%. Trouvez le coût des capitaux propres r_e après ce changement.

β_L = 1,5D/E₁ = 0,4D/E₂ = 0,75T = 20%r_f = 2,5%r_m − r_f = 7%

r_e = %

7.VAN et TRIMoyen

Un projet coûte €200 000 aujourd’hui. Il génère €16 000 à la fin de la première année, puis le flux croît de 2 % par an indéfiniment. Le coût du capital est de 8 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.

C₀ = €200 000CF₁ = €16 000g = 2%r = 8%

NPV = €

8.VAN et TRIDifficile

Un investissement de €10 000 rapporte €2 500 à la fin de chaque année pendant 10 ans. Trouvez son taux de rendement interne IRR en pourcentage.

C₀ = €10 000CF = €2 500n = 10

IRR = %

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: PV = 11806 €

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Taux et nombre de périodes

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·4 = 48

Valeur actuelle

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1,27 = €11 806,48

Réponse

PV = €11 806,48

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: FV = 203230 €

Facteur d’annuité ordinaire

((1 + 0,04)²⁴ − 1)/0,04 = 39,08

Annuité de début de période

Chaque versement est placé un an de plus.

FV = 5 000·39,08·1,04 = €203 229,54

Réponse

FV = €203 229,54

3.Prix et rendement des obligations

Réponse: P = 896,1 €

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Par période

C = €10,00, i = 0,0175, N = 16

Valeur actuelle des coupons

€10,00·(1 − 0,7576)/0,0175 = €138,50

Valeur actuelle du nominal

€1 000·0,7576 = €757,62

Prix

P = €896,12

Réponse

P = €896,12

Le rendement est supérieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une décote (sous le pair).

4.Prix et rendement des obligations

Réponse: YTM = 2,971 %

Équation du rendement

€1 110 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

Résoudre numériquement

P(2%) = €1 168,04, P(3%) = €1 108,34

YTM = 2,971%

Réponse

YTM = 2,971%

5.CAPM et WACC

Réponse: r_m = 8,5 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Prime de risque du marché

r_m − r_f = (11,5% − 2,5%)/1,5 = 6%

Rendement du marché

r_m = 2,5% + 6% = 8,5%

Réponse

r_m = 8,5%

6.CAPM et WACC

Réponse: r_e = 15,23 %

Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), où β_U est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.

Désendetter le bêta

β_U = 1,5/(1 + 0,8·0,4) = 1,136

Réendetter au nouveau D/E

β_L = 1,136·(1 + 0,8·0,75) = 1,818

Coût des capitaux propres (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,818·7% = 15,23%

Réponse

r_e = 15,23%

7.VAN et TRI

Réponse: NPV = 66667 €

Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.

Valeur des flux

PV = 16 000/(0,08 − 0,02) = 266 666,67

NPV

NPV = 266 666,67 − 200 000 = €66 666,67

Réponse

NPV = €66 666,67

La VAN est positive : le projet rapporte plus que le rendement exigé.

8.VAN et TRI

Réponse: IRR = 21,41 %

Facteur d’annuité requis

(1 − (1 + i)⁻¹⁰)/i = 10 000/2 500 = 4

Trouver le taux

Le facteur d’annuité diminue quand le taux augmente ; encadrez le taux et resserrez l’encadrement.

i = 21%: 4,054

i = 22%: 3,923

IRR = 21,41%

Réponse

IRR = 21,41%

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