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1Formules et méthodes
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
Prix et rendement des obligations
Prix de l’obligation
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Coupons semestriels
C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant
C/P
Prix et rendement
rendement en hausse → prix en baisse
Méthode
Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.
CAPM et WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valeur de l’entreprise
V = E + D
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
2Exercices
1.Valeur temps de l'argentMoyen
Vous placez €1 000 à 8 % par an avec capitalisation continue. Trouvez la valeur FV au bout de 20 ans.
PV = €1 000r = 8%t = 20
FV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Vous versez €5 000 au début de chaque année pendant 29 ans, le premier versement ayant lieu aujourd’hui. Le compte rapporte 8 % par an. Combien y a-t-il sur le compte à la fin de l’année 29 ? Trouvez FV.
A = €5 000i = 8%n = 29
FV = €
3.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 arrive à échéance dans 12 ans et verse des coupons annuels. Elle se vend €1 177 quand le taux de rendement actuariel est de 5%. Trouvez le taux du coupon c en pourcentage.
F = €1 000n = 12P = €1 177YTM = 5%
c = %
4.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 4% et arrive à échéance dans 3 ans. Le taux de rendement actuariel est de 5%. Trouvez la duration de Macaulay D en années.
F = €1 000coupon = 4%n = 3YTM = 5%
D = ans
5.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a un ratio dette/capitaux propres (en valeurs de marché) de 1,5. Son coût des capitaux propres est de 9%, son coût de la dette avant impôt de 5% et le taux d’imposition de 25%. Trouvez le WACC.
D/E = 1,5re = 9%rd = 5%T = 25%
WACC = %
6.CAPM et WACCDifficile
L’activité d’une entreprise a un bêta désendetté (bêta de l’actif) de 1,2. Elle prévoit un ratio dette/capitaux propres de 0,6. Le taux d’imposition est de 21%, le taux sans risque de 1% et la prime de risque du marché de 4%. Trouvez le coût des capitaux propres re avec la nouvelle structure du capital.
βU = 1,2D/E = 0,6T = 21%rf = 1%rm − rf = 4%
re = %
7.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €45 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 3 : €16 000, €16 000, €20 000. Le coût du capital est de 7,000000000000001 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €20 000 et rapporte €9 500, €11 500, €8 000 à la fin des années 1 à 3. Les flux peuvent être réinvestis au coût du capital de 8 %. Trouvez le taux de rendement interne modifié MIRR en pourcentage.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Exposant
r·t = 0,08·20 = 1,6
e1,6 = 4,953
Valeur future
FV = 1 000·4,953 = €4 953,03
Réponse
FV = €4 953,03
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 561416 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Facteur d’annuité ordinaire
((1 + 0,08)29 − 1)/0,08 = 104
Annuité de début de période
Chaque versement est placé un an de plus.
FV = 5 000·104·1,08 = €561 416,06
Réponse
FV = €561 416,06
3.Prix et rendement des obligations
Réponse: c = 6,997 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Valeur actuelle du nominal
1000·(1 + 0,05)−12 = €556,84
Coupon
C = (1177 − 556,84)/8,863 = €69,97
Taux du coupon
c = 69,97/1000 = 6,997%
Réponse
c = 6,997%
4.Prix et rendement des obligations
Réponse: D = 2,884 ans
Duration : la duration de Macaulay est la date moyenne pondérée à laquelle une obligation verse ses flux, avec les valeurs actuelles des flux comme poids : D = Σ t·PVₜ/P. La duration modifiée D/(1 + y) estime la variation en pourcentage du prix pour une petite variation du rendement : %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valeur actuelle de chaque flux
t = 1: 40/1,05 = 38,10, t·PV = 38,10
t = 2: 40/1,103 = 36,28, t·PV = 72,56
t = 3: 1040/1,158 = 898,39, t·PV = 2 695,17
Duration
P = 972,77
D = 2 805,83/972,77 = 2,884
Réponse
D = 2,884 ans
5.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 5,85 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Poids à partir de D/E
E/V = 1/(1 + 1,5) = 0,4
D/V = 1,5/(1 + 1,5) = 0,6
WACC
WACC = 0,4·9% + 0,6·5%·(1 − 0,25) = 5,85%
Réponse
WACC = 5,85%
6.CAPM et WACC
Réponse: re = 8,075 %
Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), où βU est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.
Bêta endetté
βL = 1,2·(1 + 0,79·0,6) = 1,769
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 1% + 1,769·4% = 8,075%
Réponse
re = 8,075%
7.VAN et TRI
Réponse: NPV = 254,2 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 16 000/1,07 = 14 953,27
CF2/(1 + 0,07)2 = 16 000/1,145 = 13 975,02
CF3/(1 + 0,07)3 = 20 000/1,225 = 16 325,96
Additionner
NPV = €254,25
Réponse
NPV = €254,25
La VAN est positive : le projet rapporte plus que le rendement exigé.
8.VAN et TRI
Réponse: MIRR = 16,35 %
TRI modifié : capitalisez chaque encaissement jusqu’à la fin du projet au taux de réinvestissement (en général le coût du capital) pour obtenir la valeur terminale TV. Le TRIM est le taux qui transforme l’investissement initial en TV : MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.