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1Formules et méthodes
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
Prix et rendement des obligations
Prix de l’obligation
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Coupons semestriels
C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant
C/P
Prix et rendement
rendement en hausse → prix en baisse
Méthode
Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.
CAPM et WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valeur de l’entreprise
V = E + D
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
2Exercices
1.Valeur temps de l'argentMoyen
Une annuité verse €3 000 à la fin de chaque année pendant 10 ans. Le taux d’intérêt est de 6 % par an. Trouvez la valeur actuelle PV de l’annuité.
A = €3 000i = 6%n = 10
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €150 000 est remboursé par mensualités constantes sur 15 ans à 7,2 % par an, capitalisé mensuellement. Quel montant total d’intérêts I est payé sur toute la durée du prêt ?
P = €150 0007,2% / 12N = 180
I = €
3.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 6% et arrive à échéance dans 10 ans. Son taux de rendement actuariel passe de 2,5% à 3%. De combien ΔP le prix de l’obligation varie-t-il ?
F = €1 000coupon = 6%n = 10y1 = 2,5%y2 = 3%
ΔP = €
4.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 3% et arrive à échéance dans 3 ans. Le taux de rendement actuariel est de 8%. Trouvez la duration de Macaulay D en années.
F = €1 000coupon = 3%n = 3YTM = 8%
D = ans
5.CAPM et WACCMoyen
Une action de bêta 1,6 a un rendement exigé de 11,5%. Le taux sans risque est de 3,5%. Quel rendement attendu du marché rm le CAPM implique-t-il ?
β = 1,6re = 11,5%rf = 3,5%
rm = %
6.CAPM et WACCDifficile
Une entreprise a 2 000 000 actions cotant €24,50 ; la valeur comptable de ses capitaux propres est de €29 400 000. Elle vient de verser un dividende de €1,30 par action, et les dividendes croissent de 2% par an. Sa dette a une valeur de marché de €49 000 000 et un coût avant impôt de 4%. Le taux d’imposition est de 21%. Trouvez le WACC en utilisant le modèle de croissance des dividendes pour le coût des capitaux propres.
Un projet coûte €500 000 aujourd’hui. Il génère €27 000 à la fin de la première année, puis le flux croît de 3 % par an indéfiniment. Le coût du capital est de 9 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €500 000CF1 = €27 000g = 3%r = 9%
NPV = €
8.VAN et TRIDifficile
Un projet coûte €25 000 et rapporte €9 500, €12 000, €14 500 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −25 000CF1 = 9 500CF2 = 12 000CF3 = 14 500
IRR = %
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 22080 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Facteur d’annuité
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,5584)/0,06 = 7,36
Valeur actuelle
PV = 3 000·7,36 = €22 080,26
Réponse
PV = €22 080,26
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: I = 95713 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Duration : la duration de Macaulay est la date moyenne pondérée à laquelle une obligation verse ses flux, avec les valeurs actuelles des flux comme poids : D = Σ t·PVₜ/P. La duration modifiée D/(1 + y) estime la variation en pourcentage du prix pour une petite variation du rendement : %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valeur actuelle de chaque flux
t = 1: 30/1,08 = 27,78, t·PV = 27,78
t = 2: 30/1,166 = 25,72, t·PV = 51,44
t = 3: 1030/1,26 = 817,65, t·PV = 2 452,94
Duration
P = 871,15
D = 2 532,16/871,15 = 2,907
Réponse
D = 2,907 ans
5.CAPM et WACC
Réponse: rm = 8,5 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Prime de risque du marché
rm − rf = (11,5% − 3,5%)/1,6 = 5%
Rendement du marché
rm = 3,5% + 5% = 8,5%
Réponse
rm = 8,5%
6.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 5,286 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Coût des capitaux propres
D1 = 1,3·1,02 = €1,33
re = 1,326/24,5 + 0,02 = 7,412%
Valeurs de marché
E = 2 000 000·€24,50 = €49 000 000
V = €98 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·7,412% + 0,5·4%·(1 − 0,21) = 5,286%
Réponse
WACC = 5,286%
7.VAN et TRI
Réponse: NPV = −50000 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur des flux
PV = 27 000/(0,09 − 0,03) = 450 000,00
NPV
NPV = 450 000,00 − 500 000 = −€50 000,00
Réponse
NPV = −€50 000,00
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
8.VAN et TRI
Réponse: IRR = 19,14 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(15%) = 1 868,58
NPV(20%) = −358,80
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.