Investissements et évaluation : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Vous placez €1 000 à 8 % par an avec capitalisation continue. Trouvez la valeur FV au bout de 4 ans.

PV = €1 000r = 8%t = 4

FV = €

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Vous empruntez €15 000 à 3,6 % par an, capitalisé mensuellement, et remboursez €275 à la fin de chaque mois. Combien de mois faut-il pour rembourser le prêt (le dernier versement peut être plus petit) ? Donnez le nombre de versements N.

P = €15 000A = €2753,6% / 12

N = versements

3.Prix et rendement des obligationsMoyen

Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 4,5% et arrive à échéance dans 15 ans. Son taux de rendement actuariel passe de 8% à 6%. De combien ΔP le prix de l’obligation varie-t-il ?

F = €1 000coupon = 4,5%n = 15y₁ = 8%y₂ = 6%

ΔP = €

4.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 7% arrive à échéance dans 5 ans et se vend €1 040. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.

F = €1 000coupon = 7%n = 5P = €1 040

YTM = %

5.CAPM et WACCMoyen

Une action de bêta 0,6 a un rendement exigé de 5,8%. Le taux sans risque est de 2,5%. Quel rendement attendu du marché r_m le CAPM implique-t-il ?

β = 0,6r_e = 5,8%r_f = 2,5%

r_m = %

6.CAPM et WACCDifficile

Une entreprise a 2 500 000 actions à €55,50 chacune et 40 000 obligations cotées €1 050 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 7% et le taux d’imposition de 28%. Le bêta de l’action est de 1,2, le taux sans risque de 4% et la rentabilité du marché de 9%. Trouvez le WACC.

β = 1,2r_f = 4%r_m = 9%r_d = 7%T = 28%

WACC = %

7.VAN et TRIMoyen

Une machine coûte €60 000 aujourd’hui. Elle génère €13 500 à la fin de chaque année pendant 6 ans et peut ensuite être revendue €12 000. Le coût du capital est de 8 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.

C₀ = €60 000CF = €13 500S = €12 000n = 6r = 8%

NPV = €

8.VAN et TRIDifficile

Un projet coûte €40 000 et rapporte €17 000, €22 000, €15 000 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.

CF₀ = −40 000CF₁ = 17 000CF₂ = 22 000CF₃ = 15 000

IRR = %

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: FV = 1377 €

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Exposant

r·t = 0,08·4 = 0,32

e^0,32 = 1,377

Valeur future

FV = 1 000·1,377 = €1 377,13

Réponse

FV = €1 377,13

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: N = 60 versements

Réarranger la formule d’annuité

i = 0,003

(1 + i)^−N = 1 − 15 000·0,003/275 = 0,8364

Résoudre avec les logarithmes

N = −ln(0,8364)/ln(1,003) = 59,65

Arrondir au nombre entier de versements supérieur

59 versements complets laissent un petit solde, que le dernier versement, plus petit, solde.

N = 60

Réponse

N = 60 versements

3.Prix et rendement des obligations

Réponse: ΔP = 153,9 €

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Prix à l’ancien rendement

C = €45,00, i = 0,08, N = 15

€45,00·(1 − 0,3152)/0,08 + €1 000·0,3152 = €385,18 + €315,24 = €700,42

Prix au nouveau rendement

C = €45,00, i = 0,06, N = 15

€45,00·(1 − 0,4173)/0,06 + €1 000·0,4173 = €437,05 + €417,27 = €854,32

Variation

ΔP = 854,32 − 700,42 = €153,90

Réponse

ΔP = €153,90

4.Prix et rendement des obligations

Réponse: YTM = 6,049 %

Équation du rendement

€1 040 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

Résoudre numériquement

P(6%) = €1 042,12, P(7%) = €1 000,00

YTM = 6,049%

Réponse

YTM = 6,049%

5.CAPM et WACC

Réponse: r_m = 8 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Prime de risque du marché

r_m − r_f = (5,8% − 2,5%)/0,6 = 5,5%

Rendement du marché

r_m = 2,5% + 5,5% = 8%

Réponse

r_m = 8%

6.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 8,847 %

Valeurs de marché

E = 2 500 000·€55,50 = €138 750 000

D = 40 000·€1 050 = €42 000 000

Coût des capitaux propres (CAPM)

r_e = 4% + 1,2·5% = 10%

Pondérations

V = €180 750 000, E/V = 0,7676, D/V = 0,2324

WACC

WACC = 0,7676·10% + 0,2324·7%·(1 − 0,28) = 8,847%

Réponse

WACC = 8,847%

7.VAN et TRI

Réponse: NPV = 9971 €

Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.

Valeur actuelle des flux annuels

13 500·4,623 = 62 408,88

Valeur actuelle de la valeur résiduelle

12 000/1,587 = 7 562,04

NPV

NPV = −60 000 + 62 408,88 + 7 562,04 = €9 970,91

Réponse

NPV = €9 970,91

8.VAN et TRI

Réponse: IRR = 16,95 %

Encadrer le TRI

La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.

NPV(15%) = 1 280,51

NPV(20%) = −1 875,00

Resserrer

L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.

IRR ≈ 15 + 5·1 280,51/(1 280,51 − (−1 875,00)) = 17,03%

exact: NPV(16,95%) = 0 → IRR = 16,95%

Réponse

IRR = 16,95%

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