Investissements et évaluation : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Tu places €12 000 à un taux nominal de 5 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la valeur FV du placement après 2 ans.

PV = €12 0005% / 12n = 2

FV = €

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Un prêt immobilier de €300 000 est remboursé par mensualités constantes sur 25 ans à 4,2 % par an, capitalisé mensuellement. Combien reste-t-il à rembourser juste après le versement de la fin de l’année 4 ? Trouvez le capital restant dû B.

P = €300 0004,2% / 12N = 300k = 48

B = €

3.Prix et rendement des obligationsMoyen

Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 6% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 4 ans. Le taux de rendement actuariel est de 8% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.

F = €1 000coupon = 6%YTM = 8%n = 4

P = €

4.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 3% arrive à échéance dans 10 ans et se vend €1 090. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.

F = €1 000coupon = 3%n = 10P = €1 090

YTM = %

5.CAPM et WACCMoyen

Une action de bêta 2 a un rendement exigé de 16%. Le taux sans risque est de 3%. Quel rendement attendu du marché r_m le CAPM implique-t-il ?

β = 2r_e = 16%r_f = 3%

r_m = %

6.CAPM et WACCDifficile

L’activité d’une entreprise a un bêta désendetté (bêta de l’actif) de 1,2. Elle prévoit un ratio dette/capitaux propres de 1. Le taux d’imposition est de 20%, le taux sans risque de 3% et la prime de risque du marché de 4,5%. Trouvez le coût des capitaux propres r_e avec la nouvelle structure du capital.

β_U = 1,2D/E = 1T = 20%r_f = 3%r_m − r_f = 4,5%

r_e = %

7.VAN et TRIMoyen

Un projet coûte €20 000 aujourd’hui et rapporte €7 000 à la fin de chaque année pendant 5 ans. Le coût du capital est de 10 %. Supposez que les flux arrivent régulièrement au cours de chaque année. Trouvez le délai de récupération actualisé DPB en années.

r = 10%CF₀ = −20 000CF₁ = 7 000CF₂ = 7 000CF₃ = 7 000CF₄ = 7 000CF₅ = 7 000

DPB = ans

8.VAN et TRIDifficile

Un projet coûte €25 000 et rapporte €16 000, €13 000, €16 000 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.

CF₀ = −25 000CF₁ = 16 000CF₂ = 13 000CF₃ = 16 000

IRR = %

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: FV = 13259 €

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Taux et nombre de périodes

i = r/m = 0,05/12 = 0,004167

N = m·n = 12·2 = 24

Valeur future

FV = 12 000·(1 + 0,004167)²⁴ = 12 000·1,105 = €13 259,30

Réponse

FV = €13 259,30

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: B = 270429 €

Mensualité

i = 0,0035, N = 300

A = 300 000·0,0035/(1 − (1 + 0,0035)⁻³⁰⁰) = €1 616,83

Valeur actuelle des versements restants

Ce qui reste dû doit être exactement remboursé par les versements restants.

N − k = 300 − 48 = 252

B = 1617·(1 − (1 + 0,0035)⁻²⁵²)/0,0035 = €270 429,50

Réponse

B = €270 429,50

3.Prix et rendement des obligations

Réponse: P = 932,7 €

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Par période

C = €30,00, i = 0,04, N = 8

Valeur actuelle des coupons

€30,00·(1 − 0,7307)/0,04 = €201,98

Valeur actuelle du nominal

€1 000·0,7307 = €730,69

Prix

P = €932,67

Réponse

P = €932,67

Le rendement est supérieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une décote (sous le pair).

4.Prix et rendement des obligations

Réponse: YTM = 1,998 %

Équation du rendement

€1 090 = €30·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

Résoudre numériquement

P(1%) = €1 189,43, P(2%) = €1 089,83

YTM = 1,998%

Réponse

YTM = 1,998%

5.CAPM et WACC

Réponse: r_m = 9,5 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Prime de risque du marché

r_m − r_f = (16% − 3%)/2 = 6,5%

Rendement du marché

r_m = 3% + 6,5% = 9,5%

Réponse

r_m = 9,5%

6.CAPM et WACC

Réponse: r_e = 12,72 %

Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), où β_U est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.

Bêta endetté

β_L = 1,2·(1 + 0,8·1) = 2,16

Coût des capitaux propres (CAPM)

r_e = 3% + 2,16·4,5% = 12,72%

Réponse

r_e = 12,72%

7.VAN et TRI

Réponse: DPB = 3,542 ans

Délai de récupération : le temps nécessaire pour que les flux de trésorerie cumulés remboursent l’investissement initial. On suppose que la trésorerie arrive régulièrement au cours de chaque année, donc la dernière partie est une fraction d’année. Le délai de récupération simple ignore la valeur temps de l’argent ; le délai de récupération actualisé utilise à la place les flux actualisés.

Flux actualisés et cumulés

année 1: 7 000/1,1 = 6 363,64 → Σ = 6 363,64

année 2: 7 000/1,21 = 5 785,12 → Σ = 12 148,76

année 3: 7 000/1,331 = 5 259,20 → Σ = 17 407,96

année 4: 7 000/1,464 = 4 781,09 → Σ = 22 189,06

Fraction de la dernière année

DPB = 3 + 2 592,04/4 781,09 = 3,542

Réponse

DPB = 3,542 ans

Le délai de récupération actualisé est toujours plus long que le délai de récupération simple (2,857 ans).

8.VAN et TRI

Réponse: IRR = 36,47 %

Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.

Encadrer le TRI

La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.

NPV(35%) = 487,98

NPV(40%) = −1 107,87

Resserrer

L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.

IRR ≈ 35 + 5·487,98/(487,98 − (−1 107,87)) = 36,53%

exact: NPV(36,47%) = 0 → IRR = 36,47%

Réponse

IRR = 36,47%

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