Investissements et évaluation : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Une annuité verse €1 500 à la fin de chaque année pendant 4 ans. Le taux d’intérêt est de 6 % par an. Trouvez la valeur actuelle PV de l’annuité.

A = €1 500i = 6%n = 4

PV = €

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Un prêt immobilier de €150 000 est remboursé par mensualités constantes sur 25 ans à 2,4 % par an, capitalisé mensuellement. Combien reste-t-il à rembourser juste après le versement de la fin de l’année 8 ? Trouvez le capital restant dû B.

P = €150 0002,4% / 12N = 300k = 96

B = €

3.Prix et rendement des obligationsMoyen

Vous achetez une obligation à 7 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 5%) quand son taux de rendement actuariel est de 6%. Un an plus tard, juste après avoir perçu le premier coupon, vous la revendez quand le taux de rendement actuariel est de 6,5%. Trouvez votre rendement sur la période de détention HPR en pourcentage.

F = €1 000coupon = 5%n = 7y₀ = 6%y₁ = 6,5%

HPR = %

4.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation à 14 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 9%) se vend €1 175. L’émetteur peut la rembourser par anticipation dans 3 ans à un prix de remboursement anticipé de €1 090. Trouvez le rendement au remboursement anticipé YTC en pourcentage.

F = €1 000coupon = 9%P = €1 175prix de remboursement anticipé = €1 090remboursement anticipé dans 3 ans

YTC = %

5.CAPM et WACCMoyen

Une entreprise a des capitaux propres valant €4 000 000 et une dette valant €2 000 000. Son WACC est de 9,4%, son coût de la dette avant impôt de 6% et le taux d’imposition de 30%. Trouvez le coût des capitaux propres r_e.

E = €4 000 000D = €2 000 000WACC = 9,4%r_d = 6%T = 30%

r_e = %

6.CAPM et WACCDifficile

Les actions d’une entreprise ont un bêta de 1,5 pour son ratio dette/capitaux propres actuel de 0,25. Elle prévoit de porter ce ratio à 1,25. Le taux d’imposition est de 25,8%, le taux sans risque de 4% et la prime de risque du marché de 6,5%. Trouvez le coût des capitaux propres r_e après ce changement.

β_L = 1,5D/E₁ = 0,25D/E₂ = 1,25T = 25,8%r_f = 4%r_m − r_f = 6,5%

r_e = %

7.VAN et TRIMoyen

Une machine coûte €60 000 aujourd’hui, dure 5 ans et coûte €4 000 par an en fonctionnement (payés à la fin de chaque année). Le coût du capital est de 5 %. Trouvez son coût annuel équivalent EAC.

C₀ = €60 000M = €4 000n = 5r = 5%

EAC = €

8.VAN et TRIDifficile

Un projet coûte €25 000 et rapporte €16 000, €12 500, €16 500 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.

CF₀ = −25 000CF₁ = 16 000CF₂ = 12 500CF₃ = 16 500

IRR = %

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: PV = 5198 €

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Facteur d’annuité

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,7921)/0,06 = 3,465

Valeur actuelle

PV = 1 500·3,465 = €5 197,66

Réponse

PV = €5 197,66

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: B = 111371 €

Mensualité

i = 0,002, N = 300

A = 150 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)⁻³⁰⁰) = €665,40

Valeur actuelle des versements restants

Ce qui reste dû doit être exactement remboursé par les versements restants.

N − k = 300 − 96 = 204

B = 665,4·(1 − (1 + 0,002)⁻²⁰⁴)/0,002 = €111 370,67

Réponse

B = €111 370,67

3.Prix et rendement des obligations

Réponse: HPR = 3,517 %

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Prix d’achat

C = €50,00, i = 0,06, N = 7

€50,00·(1 − 0,6651)/0,06 + €1 000·0,6651 = €279,12 + €665,06 = €944,18

Prix de vente

C = €50,00, i = 0,065, N = 6

€50,00·(1 − 0,6853)/0,065 + €1 000·0,6853 = €242,05 + €685,33 = €927,38

Rendement sur la période de détention

HPR = (50 + 927,38 − 944,18)/944,18 = 3,517%

Réponse

HPR = 3,517%

4.Prix et rendement des obligations

Réponse: YTC = 5,373 %

Équation du rendement

1175 = 90·(1 − (1 + y)⁻³)/y + 1090/(1 + y)³

Résoudre numériquement

y = 5%: €1 186,68

y = 6%: €1 155,76

YTC = 5,373%

Réponse

YTC = 5,373%

Le taux de rendement actuariel à l’échéance est de 6,999%. Les investisseurs d’une obligation cotant au-dessus du pair s’attendent à un remboursement anticipé, donc le rendement au remboursement anticipé, plus faible, est le plus réaliste.

5.CAPM et WACC

Réponse: r_e = 12 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Pondérations

V = €6 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

Part de la dette dans le WACC

0,3333·6%·(1 − 0,3) = 1,4%

Coût des capitaux propres

r_e = (9,4% − 1,4%)/0,6667 = 12%

Réponse

r_e = 12%

6.CAPM et WACC

Réponse: r_e = 19,85 %

Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), où β_U est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.

Désendetter le bêta

β_U = 1,5/(1 + 0,742·0,25) = 1,265

Réendetter au nouveau D/E

β_L = 1,265·(1 + 0,742·1,25) = 2,439

Coût des capitaux propres (CAPM)

r_e = 4% + 2,439·6,5% = 19,85%

Réponse

r_e = 19,85%

7.VAN et TRI

Réponse: EAC = 17858 €

Coût annuel équivalent : répartissez la valeur actuelle de tous les coûts sur la durée de vie sous forme d’un montant annuel constant (une annuité) : EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Cela permet de comparer des machines de durées de vie différentes.

Facteur d’annuité

(1 − 1,05⁻⁵)/0,05 = 4,329

Prix d’achat annualisé

60 000/4,329 = 13 858,49

EAC

EAC = 13 858,49 + 4 000 = €17 858,49

Réponse

EAC = €17 858,49

8.VAN et TRI

Réponse: IRR = 36,25 %

Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.

Encadrer le TRI

La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.

NPV(35%) = 416,86

NPV(40%) = −1 180,76

Resserrer

L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.

IRR ≈ 35 + 5·416,86/(416,86 − (−1 180,76)) = 36,3%

exact: NPV(36,25%) = 0 → IRR = 36,25%

Réponse

IRR = 36,25%

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