Investissements et évaluation : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Une annuité verse €1 000 à la fin de chaque année pendant 18 ans. Le taux d’intérêt est de 7 % par an. Trouvez la valeur actuelle PV de l’annuité.

A = €1 000i = 7%n = 18

PV = €

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Un prêt immobilier de €150 000 est remboursé par mensualités constantes sur 30 ans à 2,4 % par an, capitalisé mensuellement. Combien reste-t-il à rembourser juste après le versement de la fin de l’année 21 ? Trouvez le capital restant dû B.

P = €150 0002,4% / 12N = 360k = 252

B = €

3.Prix et rendement des obligationsMoyen

Une obligation de valeur nominale €1 000 arrive à échéance dans 3 ans et verse des coupons annuels. Elle se vend €897 quand le taux de rendement actuariel est de 8%. Trouvez le taux du coupon c en pourcentage.

F = €1 000n = 3P = €897YTM = 8%

c = %

4.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 5% arrive à échéance dans 10 ans et se vend €860. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.

F = €1 000coupon = 5%n = 10P = €860

YTM = %

5.CAPM et WACCMoyen

Une entreprise a des capitaux propres de €8 000 000 et une dette de €6 000 000. Son coût des capitaux propres est de 14%, son coût de la dette avant impôt de 4% et le taux d’imposition de 21%. Trouvez le WACC.

E = €8 000 000D = €6 000 000r_e = 14%r_d = 4%T = 21%

WACC = %

6.CAPM et WACCDifficile

L’activité d’une entreprise a un bêta désendetté (bêta de l’actif) de 0,8. Elle prévoit un ratio dette/capitaux propres de 1,5. Le taux d’imposition est de 25,8%, le taux sans risque de 4% et la prime de risque du marché de 4,5%. Trouvez le coût des capitaux propres r_e avec la nouvelle structure du capital.

β_U = 0,8D/E = 1,5T = 25,8%r_f = 4%r_m − r_f = 4,5%

r_e = %

7.VAN et TRIMoyen

Un projet coûte €20 000 aujourd’hui et rapporte €6 500 à la fin de chaque année pendant 5 ans. Le coût du capital est de 10 %. Supposez que les flux arrivent régulièrement au cours de chaque année. Trouvez le délai de récupération actualisé DPB en années.

r = 10%CF₀ = −20 000CF₁ = 6 500CF₂ = 6 500CF₃ = 6 500CF₄ = 6 500CF₅ = 6 500

DPB = ans

8.VAN et TRIDifficile

Un projet coûte €10 000 et rapporte €4 000, €6 500, €6 500 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.

CF₀ = −10 000CF₁ = 4 000CF₂ = 6 500CF₃ = 6 500

IRR = %

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: PV = 10059 €

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Facteur d’annuité

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,2959)/0,07 = 10,06

Valeur actuelle

PV = 1 000·10,06 = €10 059,09

Réponse

PV = €10 059,09

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: B = 56763 €

Mensualité

i = 0,002, N = 360

A = 150 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)⁻³⁶⁰) = €584,91

Valeur actuelle des versements restants

Ce qui reste dû doit être exactement remboursé par les versements restants.

N − k = 360 − 252 = 108

B = 584,9·(1 − (1 + 0,002)⁻¹⁰⁸)/0,002 = €56 763,04

Réponse

B = €56 763,04

3.Prix et rendement des obligations

Réponse: c = 4,003 %

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Valeur actuelle du nominal

1000·(1 + 0,08)⁻³ = €793,83

Coupon

C = (897 − 793,83)/2,577 = €40,03

Taux du coupon

c = 40,03/1000 = 4,003%

Réponse

c = 4,003%

4.Prix et rendement des obligations

Réponse: YTM = 6,993 %

Équation du rendement

€860 = €50·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

Résoudre numériquement

P(6%) = €926,40, P(7%) = €859,53

YTM = 6,993%

Réponse

YTM = 6,993%

5.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 9,354 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Pondérations

V = €14 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286

WACC

WACC = 0,5714·14% + 0,4286·4%·(1 − 0,21) = 9,354%

Réponse

WACC = 9,354%

6.CAPM et WACC

Réponse: r_e = 11,61 %

Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), où β_U est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.

Bêta endetté

β_L = 0,8·(1 + 0,742·1,5) = 1,69

Coût des capitaux propres (CAPM)

r_e = 4% + 1,69·4,5% = 11,61%

Réponse

r_e = 11,61%

7.VAN et TRI

Réponse: DPB = 3,864 ans

Délai de récupération : le temps nécessaire pour que les flux de trésorerie cumulés remboursent l’investissement initial. On suppose que la trésorerie arrive régulièrement au cours de chaque année, donc la dernière partie est une fraction d’année. Le délai de récupération simple ignore la valeur temps de l’argent ; le délai de récupération actualisé utilise à la place les flux actualisés.

Flux actualisés et cumulés

année 1: 6 500/1,1 = 5 909,09 → Σ = 5 909,09

année 2: 6 500/1,21 = 5 371,90 → Σ = 11 280,99

année 3: 6 500/1,331 = 4 883,55 → Σ = 16 164,54

année 4: 6 500/1,464 = 4 439,59 → Σ = 20 604,13

Fraction de la dernière année

DPB = 3 + 3 835,46/4 439,59 = 3,864

Réponse

DPB = 3,864 ans

Le délai de récupération actualisé est toujours plus long que le délai de récupération simple (3,077 ans).

8.VAN et TRI

Réponse: IRR = 29,22 %

Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.

Encadrer le TRI

La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.

NPV(25%) = 688,00

NPV(30%) = −118,34

Resserrer

L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.

IRR ≈ 25 + 5·688,00/(688,00 − (−118,34)) = 29,27%

exact: NPV(29,22%) = 0 → IRR = 29,22%

Réponse

IRR = 29,22%

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